Supongo que formulaste tu pregunta un poco mal.
Deje que [math] E [/ math] sea un paquete vectorial sobre [math] M [/ math]. Denote por [math] T (M) [/ math] su paquete tangente.
De hecho, una conexión [matemática] \ nabla: \ Gamma (E) \ a \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^ {1}) [/ math] es una distribución.
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Para comprender mejor lo que significa, consideremos la situación local, que es un subconjunto abierto [matemático] U \ M [/ matemático] de modo que [matemático] E [/ matemático] es trivial sobre [matemático] U [/ matemático] de rango [matemáticas] k [/ matemáticas].
Suponemos que [math] E = U \ times \ mathbf {R} ^ {k} [/ math].
Entonces cada sección está dada por [math] s = f_1 e_1 + f_2 e_2 + \ ldots + f_k e_k [/ math], donde [math] f_1, f_2, \ ldots, f_k [/ math] son funciones suaves en [math] U [/ math] y [math] (e_1, e_2, \ ldots e_k) [/ math] con [math] e_i \ in \ mathbf {R} ^ {k} [/ math], [math] i = 1, \ ldots k [/ math] es el marco estándar.
Y tenemos :
[math] \ nabla (s) = e_1 \ otimes \ mathrm {d} {f_1} + \ ldots + e_ {k} \ otimes \ mathrm {d} {f_k} + [/ math] [math] f_1 \ nabla { (e_1)} + \ ldots + f_k \ nabla {(e_k)} [/ math]
Tenga en cuenta que la primera parte de esta expresión no depende de una conexión particular.
Podemos interpretar [math] \ nabla (s) [/ math] como [math] \ mathbf {R} [/ math] -mapa lineal [math] T (M) \ to E [/ math] respetando las fibras de [ matemática] E [/ matemática], pero no es [matemática] C ^ {\ infty} (U) [/ matemática] lineal.
Si tomamos otra conexión, digamos [math] \ nabla_1 [/ math], y consideramos la diferencia [math] \ nabla (s) – \ nabla_1 (s) [/ math] entonces ves que es un [math] C ^ {\ infty} (U) [/ math] – mapa lineal de [math] T (M) \ to E [/ math] respetando las fibras, es decir, es dado localmente por alguna matriz con entradas en [math] C ^ {\ infty} (U) [/ math] de dimensión [math] k \ times \ dim (M) [/ math].
Ahora, si necesitáramos [math] \ nabla (s) = 0 [/ math] tendríamos dificultades ya que llegaríamos a un sistema de PDE lineal.
Pero podemos requerir que [matemática] \ nabla (s) = 0 [/ matemática] a lo largo de alguna curva suave (por partes) [matemática] j: [0,1] \ a M [/ matemática] es decir, “la derivada direccional” [ math] \ nabla (s) (j ‘(t)) = 0 [/ math] para [math] t \ in [0,1] [/ math].
Entonces podemos retirar [math] E [/ math] junto con la sección [math] s: U \ to E [/ math] y la conexión [math] \ nabla [/ math] en [math] j [/ math] .
Entonces [math] (j ^ {*} \ nabla) (j ^ {*} s) = 0 [/ math] da un sistema de ecuaciones lineales diferenciales ordinarias que tiene la solución única dada una condición inicial
[matemáticas] j ^ {*} s (0) = x_0 \ in \ mathbf {R} ^ {k} [/ matemáticas].
Sea [math] U [/ math] el operador de evolución de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
Luego, comenzando con el marco, por ejemplo, [math] (e_ {0}, e_ {1}, \ ldots e_ {k}) [/ math] obtenemos por transporte paralelo el marco [math] (U (t) e_ {0} , U (t) e_ {1}, \ ldots U (t) e_ {k}) [/ math], es decir, esta solución define un transporte paralelo.
Ahora dejemos que [math] P (M) [/ math] sea el múltiple de camino de [math] M [/ math] que es un múltiple liso de dimensiones infinitas, y [math] \ mathfrak {C} [/ math] sea un conjunto de conexiones de [math] E [/ math] sobre [math] M [/ math] que es básicamente [math] \ Omega ^ {1} (M, \ mathrm {End} (E)) [/ math] hasta Un cambio con la conexión constante.
Además, deje que [math] P_ {j} [/ math] sea un conjunto de transportes paralelos a lo largo de [math] j [/ math].
Hemos construido un mapa [math] \ mathfrak {C} \ times P (M) \ to P_ {j} [/ math] o, equivalentemente, un mapa
[math] \ mathfrak {C} \ to [/ math] [math] \ {\ text {mapas de transporte paralelos asociados a} [/ math] [math] E \ text {over} M \} [/ math].
Probablemente sabrá si podemos encontrar el inverso de este mapa.
En general, probablemente no (pero no soy un experto en esta área), sin embargo, la respuesta es positiva en un entorno más especial: http://arxiv.org/pdf/0903.0121v2…
