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Depende en gran medida de la lógica en la que esté trabajando.
Si está trabajando en lógica clásica o intuicionista, es el caso, porque en lógica clásica [matemáticas] | A | = 1 \ Leftrightarrow | \ neg A | = 0. [/ Matemáticas] Lo que significa que cualquier tautología clásica negada es un Fórmula contradictoria.
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Para demostrar que esto se mantiene en la lógica intuicionista, debemos introducir la semántica de Kripke para ello.
Primero presentamos la interpretación del siguiente tipo: [matemáticas] \ langle W, w_0, R, I \ rangle [/ matemáticas] con [matemáticas] W \ neq \ varnothing [/ matemáticas], [matemáticas] w_0 \ en W [ / math], [math] R [/ math] es una relación de accesibilidad reflexiva y transitiva en [math] W ^ 2 [/ math], para cualquier variable proposicional [math] \ gamma [/ math] se cumple lo siguiente: [math ] I (\ gamma, w \ in W) \ in \ {0,1 \}: (I (\ gamma, w_1) = 1 \ wedge R (w_1, w_2)) \ Rightarrow I (\ gamma, w_2) = 1 [/ math] – un principio de conservación de la verdad.
No necesitaremos toda la semántica, ya que generalmente se define de una manera bastante común. Sin embargo, lo que sí necesitamos es el caso negativo:
[matemáticas] | \ neg A | _ {w_1} = 1 \ Leftrightarrow \ forall w_2 (R (w_1, w_2) \ Rightarrow | A | _ {w_2} = 0), | \ neg A | _ {w_1} = 0 \ Leftrightarrow \ exist w_2 (R (w_1, w_2) \ wedge | A | _ {w_2} = 1) [/ math]
Como una tautología intuicionista es válida en todos los mundos accesibles, su negación no es válida en ninguno de los mundos alcanzables y, por lo tanto, es una contradicción.
También hay una explicación útil a través de la lógica modal proposicional S4 y un mapeo especial [math] \ sigma [/ math] que asigna fórmulas intuitivas a las fórmulas en S4 que tienen el mismo valor de verdad.
- [math] \ sigma (p) = \ Box p [/ math] con [math] p [/ math] siendo una variable proposicional
- Con [matemática] A, B [/ matemática] – formula lo siguiente:
- [math] \ sigma (\ neg A) = \ Box \ neg \ sigma (A) [/ math]
- [matemáticas] \ sigma (A \ cuña B) = \ sigma (A) \ cuña \ sigma (B) [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ sigma (A \ vee B) = \ sigma (A) \ vee \ sigma (B) [/ matemáticas]
- [matemática] \ sigma (A \ supset B) = \ Box (\ sigma (A) \ supset \ sigma (B)) [/ math]
Esto significa más o menos que en la lógica intuicionista alguna fórmula es verdadera si es necesariamente cierta.
De este mapeo se ve claramente que [math] (p \ vee \ neg p) [/ math] es un equivalente intuicionista para S4 [math] (\ Box p \ vee \ Box \ neg p) [/ math] que claramente es No es una tautología. Esto significa que la ley del medio excluido no es una tautología intuicionista (primera fórmula). Y como no es una tautología, su negación no es una contradicción.
Lo mismo ocurre también, por ejemplo, para la lógica de muchos valores de Jan Łukasiewicz. Y, diría, todas las lógicas donde una fórmula dada tiene exactamente un valor. Sin embargo, las fórmulas que proporcionó no son tautologías de muchas lógicas valoradas, a menos que puedan describirse como un álgebra booleana.
Sin embargo, existen algunas lógicas, como la FDE de lógica de relevancia que no tienen universalmente falso en absoluto (sin embargo, tampoco tienen declaraciones universalmente verdaderas también, y la ley allí se define como una consecuencia semántica [matemática] A \ vDash B [ / math] donde siempre que [math] A [/ math] es verdadero [math] B [/ math] también es verdadero).
FDE emplea una noción de descripciones de estado generalizadas que pueden ser inconsistentes y / o incompletas, lo que significa que no existe tal fórmula [matemática] A \ vDash B [/ matemática] que nunca se cumple de una manera descrita. En otras palabras, una fórmula FDE puede ser simultáneamente verdadera y falsa (como [math] p \ wedge \ neg p [/ math]), sin embargo, no puede ser verdadera y no verdadera o falsa y no falsa.
Espero que esto ayude.