Si cambiamos [matemática] x ^ 3-x ^ 2 + x-2 = 4 [/ matemática] en [matemática] x ^ 3-x ^ 2 + x-6 = 0 [/ matemática], podemos intentar si existe Es una solución racional. Cualquier solución racional [matemática] \ frac pq [/ matemática], [matemática] p [/ matemática] debería dividir [matemática] 6 [/ matemática] (término libre), y [matemática] q [/ matemática] debería dividir [matemática ] 1 [/ math] (coeficiente de la potencia más alta). Esto significa que las soluciones racionales, si existen, deben estar en el conjunto [math] x \ in \ {- 6, -3, -2, -1,1,2,3,6 \} [/ math]. Por simple inspección obtenemos: [matemática] x = 2 [/ matemática] es una solución, por lo tanto [matemática] x-2 [/ matemática] es un factor de [matemática] x ^ 3-x ^ 2 + x-6 [ /matemáticas]. El otro factor sería:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3-x ^ 2 + x-6} {x-2} = x ^ 2 + x + 3 [/ matemáticas]. El polinomio [matemático] x ^ 2 + x + 3 = 0 [/ matemático] no tiene soluciones reales, entonces:
[matemáticas] x ^ 3-x ^ 2 + x-6 = (x-1) (x ^ 2 + x + 3) [/ matemáticas] es una factorización aceptada para polinomios reales o racionales.
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[matemáticas] z ^ 3-z ^ 2 + z-6 = (z-1) \ bigl (z + \ frac {1- \ sqrt {10}} 2 \ bigr) \ bigl (z + \ frac {1+ \ sqrt {10}} 2 \ bigr) [/ math] sería la factorización para polinomios complejos.
Sin embargo, el problema no nos pide resolver [matemáticas] x ^ 3-x ^ 2 + x-2 = 4 [/ matemáticas], sino factorizarlo.
[matemáticas] 4 [/ matemáticas] se factoriza como [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas]. Pero el polinomio de la izquierda no se puede factorizar en los racionales. Entonces, la única factorización racional posible sería:
[matemáticas] x ^ 3-x ^ 2 + x-2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas].
Para la factorización real o compleja, tomemos de la función cúbica # Solución algebraica para [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ math].
Discriminante [matemática] \ Delta = 18abcd – 4b ^ 3d + b ^ 2c ^ 2 – 4ac ^ 3 – 27a ^ 2d ^ 2 = 36-8-4-108 = -84 [/ matemática]. Esto significa que solo hay una raíz real y la otra es compleja.
Luego:
[matemáticas] \ Delta_0 = b ^ 2 – 3ac [/ matemáticas],
[matemática] \ Delta_1 = 2b ^ 3 – 9abc + 27a ^ 2d [/ matemática], y
[matemática] C = \ sqrt [3] {\ frac {\ Delta_1 \ pm \ sqrt {{\ Delta_1} ^ 2 – 4 {\ Delta_0} ^ 3}} 2} [/ matemática].
Sustitución:
[matemáticas] \ Delta_0 = 1 – 3 = -2 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Delta_1 = -2 + 9 – 54 = -47 [/ matemáticas], y
[matemáticas] C = \ sqrt [3] {\ frac {-47 \ pm \ sqrt {47 ^ 2 – 4 (-2) ^ 3}} 2} = \ sqrt [3] {\ frac {-47 \ pm \ sqrt {2209 + 32}} 2} = \ sqrt [3] {\ frac {-47 \ pm {-47 \ pm3 \ sqrt {249}}} 2} [/ math].
Las soluciones son ahora:
[matemáticas] x_0 = – \ frac {1} {3a} \ left (b + C + \ frac {\ Delta_0} {C} \ right) [/ math],
[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {3a} \ left (b + \ zeta C + \ frac {\ Delta_0} {\ zeta C} \ right) [/ math],
[matemáticas] x_2 = – \ frac {1} {3a} \ left (b + \ frac C \ zeta + \ frac {\ zeta \ Delta_0} {C} \ right) [/ math]
para [math] \ zeta = \ frac {-1 + i \ sqrt3} 2 = e ^ {i \ frac23 \ pi} [/ math].
No estoy interesado en seguir desarrollando esta expresión.
