Los números complejos se cierran en todas las operaciones, incluida la exponenciación, aquí a una potencia [matemática] \ frac 1 3 [/ matemática]. Por lo tanto, el valor de la expresión [matemáticas] (- 9) ^ {\ frac 1 3} [/ matemáticas] será en general un número complejo. A menudo, una expresión como [math] (- 1) ^ {\ frac 1 2} [/ math] tiene múltiples valores. Necesitamos permitir esto.
Usamos la identidad de Euler dos veces para convertir [matemáticas] -9 [/ matemáticas] en coordenadas polares generales. En particular, usamos [matemática] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemática] y [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemática], entero [matemática] k [/ matemática].
[matemáticas] (- 9) ^ {\ frac 1 3} = (9 e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 3} = 9 ^ {\ frac 1 3} e ^ {i \ pi (\ frac {1 + 2 k} {3})} [/ matemáticas]
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Aquí hay realmente tres números complejos, las negaciones de tres raíces cúbicas de unidad aumentadas en la misma cantidad. Lo relevante es el ángulo. [matemáticas] k = -1 [/ matemáticas] da [matemáticas] – \ pi / 3 [/ matemáticas], [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] da [matemáticas] \ pi / 3 [/ matemáticas] y [matemáticas ] k = 1 [/ math] da [math] 3 \ pi / 3 = \ pi [/ math].
Luego llegamos a [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] dando [matemáticas] 5 \ pi / 3 [/ matemáticas] que es realmente lo mismo que [matemáticas] – \ pi / 3 [/ matemáticas]. [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas] da [matemáticas] 7 \ pi / 3 [/ matemáticas] lo mismo que [matemáticas] \ pi / 3, [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas] da [matemáticas] 3 \ pi [/ matemáticas], igual que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Rápidamente vemos que a pesar de que [math] k [/ math] puede ser cualquier número entero, solo hay tres ángulos diferentes entre ellos.
Podemos usar cualquier [matemática] 9 ^ {1/3} [/ matemática] – en particular, el valor principal de la raíz cúbica de un real positivo es claro y sirve como la magnitud. El único valor real de la expresión proviene de [math] k = 1 [/ math], [math] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ Math] Entonces la respuesta real es [math] – \ sqrt [ 3] {9}. [/ Matemáticas]
Todavía una raíz cúbica siempre tendrá 3 valores. Los otros dos son [matemáticas] 9 ^ {1/3} e ^ {\ pm \ frac {\ pi} {3} i} = 9 ^ {1/3} \ textrm {cis} (\ pm \ pi / 3 ) = \ sqrt [3] {9} (\ frac 1 2 \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ math]
