A2A
La teoría de grupos estudia objetos algebraicos llamados grupos, que pueden usarse para modelar y así estudiar las simetrías de un determinado objeto.
Una de las aplicaciones muy importantes de la teoría de grupos es su aplicación a la geometría. La geometría (moderna) es el estudio de las propiedades de un espacio que son invariables bajo un grupo de transformaciones de ese espacio.
- ¿Cómo sabemos que la lógica es verdadera?
- ¿Qué significan las "raíces enésimas de la unidad" y las "raíces enésimas primitivas de la unidad"?
- ¿Por qué los valores son diferentes si multiplico un número irracional al numerador y al denominador al mismo tiempo?
- ¿Cuál es la razón por la cual la prueba para la conjetura ABC de Shinichi Mochizuki todavía no se ha considerado generalmente como una prueba que pasa la etapa de revisión por pares como de costumbre, aunque ya había sido examinada por más de 10 matemáticos?
- Cómo descomponer la fracción [matemática] \ displaystyle \ frac {1} {x (x ^ 2-1)} [/ matemática]
Un cuadrado es invariante bajo rotaciones de [matemática] 90 [/ matemática], una función periódica es invariante bajo una traslación, todos estos son ejemplos de simetría.
Muchos sistemas físicos pueden ser modelados por la teoría de grupos. Por ejemplo, las leyes de la física no deberían cambiar con el tiempo y las leyes de la física no deberían cambiar dependiendo de dónde se encuentre en el universo.
Tal invariancia de las leyes físicas conduce a leyes de conservación, por ejemplo, la invariancia de la traducción conduce a la conservación del impulso. Una forma formal de expresión es usar el teorema de Emmy Noether que explica cómo las simetrías de un sistema físico dan lugar a sus leyes de conservación.
La teoría de grupos también se usa ampliamente en matemática pura. Un hermoso ejemplo de esto es el de la teoría de Galois. Evariste Galois encontró una manera de unir un grupo a un polinomio que lo llevó a su prueba de la insolubilidad del polinomio de quinto grado, y una área completamente nueva de las matemáticas.
En topología, especialmente en topología algebraica, se pueden usar grupos para capturar ciertos invariantes de espacios. Trabajar con estos grupos resulta ser mucho más fácil que trabajar con los espacios en sí.
La teoría de grupos es útil en la criptografía de clave pública para realizar ciertos cálculos de manera eficiente. Los grupos cíclicos se pueden usar para modelar los restos de enteros, lo cual es útil para realizar grandes cálculos.
Estos son solo algunos de los cientos de ejemplos de aplicaciones de teoría de grupos. No he hablado de combinatoria, teoría de números algebraicos y muchos otros.
