Supongamos que hay un conjunto [matemática] A [/ matemática] como tal. Ahora mire un vecindario abierto [matemática] U [/ matemática] alrededor de una [matemática] r [/ matemática] irracional. Hay un número racional [matemáticas] q [/ matemáticas] (en realidad una cantidad infinita como tal) en ese vecindario que tiene un vecindario abierto [matemáticas] V \ subconjunto U [/ matemáticas]. Además, podemos reducirlos a una apertura más pequeña [matemática] V ‘[/ matemática] y [matemática] U’ [/ matemática] para que [matemática] U ‘\ cap V’ = \ emptyset [/ matemática].
Genial, ya que [math] q [/ math] es un punto de acumulación de [math] A [/ math], hay algo de [math] a_ {1} \ en A \ cap [/ math] [math] V ‘ [/matemáticas].
Ahora repetimos. Tenga en cuenta que con [math] U ‘[/ math], necesariamente elegiremos una [math] a_ {2} \ in A [/ math] diferente como consecuencia de [math] U’ \ cap V ‘= \ emptyset [ /matemáticas].
Manteniendo esto, producimos una secuencia [matemática] \ left \ {a_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {\ infty} \ subconjunto A [/ math] tendiente a [math] r [/ math ] (No necesariamente, pero hay una solución simple. ¿Qué es?)
Hemos demostrado que [math] r [/ math] es un punto de acumulación de [math] A [/ math]. Contradicción.
Material de pensamiento: ¿cuáles son las cualidades de [math] \ mathbb {Q} [/ math] que necesitábamos aquí? ¿Cómo podría generalizarse esto a una restricción general de lo que pueden ser puntos de acumulación de un conjunto?
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