Bueno, no puedes agotar un conjunto incontable tomando elementos uno por uno, así que este es el salto de la intuición.
Para comparar dos conjuntos incontables, uno tiene que proporcionar inyecciones globales explícitas, y luego hacer uso extensivo del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. La clave aquí es que la existencia de cualquier inyección entre los conjuntos A y B es suficiente para demostrar que [matemática] | A | ≤ | B | [/ matemática]. Y la otra clave es que siempre que [matemáticas] | A | ≤ | B | [/ matemáticas] y [matemáticas] | A | ≥ | B | [/ matemáticas], entonces [matemáticas] | A | = | B | [/ matemáticas].
Hagamos un ejemplo, el más clásico. Demuestre que [math] | \ R | = | \ wp (\ N) | [/ math].
- ¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] 3 ^ {| x - y |} + 3 ^ {| y - z |} + 3 ^ {| z - x |} - \ sqrt {6x ^ 2 + 6y ^ 2 + 6z ^ 2} [/ matemáticas] si [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas]?
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- Cómo encontrar r en [matemáticas] ^ n P_r = n (n-1) (n-2) \ times… .. \ times5 \ times4 \ times3 [/ math]
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Primero, encuentre una inyección explícita de [math] \ R [/ math] en [math] \ wp (\ N) [/ math]: para un número real positivo> 1, corte su representación decimal en cada dígito, invierta los dígitos y poner el número entero resultante en un conjunto. Es fácil ver que este conjunto de números naturales tiene como máximo un número <10, y que todos los números son subcadenas "finales" de todos los números más grandes. Por ejemplo, el número 0.5 daría el conjunto {0, 50}, el número 1/7 daría el conjunto {0, 10, 410, 2410, 82410, 582410, 7582410, …}, y el número π daría {3 , 13, 413, 1413, 51413, 951413, …}. Puede ajustar los números negativos agregando un solo dígito falso al conjunto.
Los subconjuntos de enteros obtenidos de esa manera están muy lejos de ser todos los subconjuntos, pero eso no es un problema, porque al menos hemos demostrado que [math] | \ R | ≤ | \ wp (\ N) | [/ math].
Ahora, encuentre una inyección explícita de [math] \ wp (\ N) [/ math] en [math] \ R [/ math]: desde un subconjunto [math] S [/ math] de los números naturales, haga un real [math] r_S [/ math] comenzando con “0” y estableciendo su enésimo dígito decimal en 2 si [math] n \ en S [/ math], y en 7 de lo contrario. Por supuesto, habrá muchos números reales que no están cubiertos por esto, pero hemos encontrado una inyección, así que [matemáticas] | \ wp (\ N) | ≤ | \ R | [/ matemáticas].
Ahora aplicamos el teorema de CSB y establecemos que los dos conjuntos son equivalentes, es decir, tienen la misma cardinalidad.
Una vez más, tenga en cuenta que no hemos tratado de agotar ambos conjuntos de ninguna manera (incluso si con una construcción algo más compleja podría hacerse), sino simplemente mapear cada uno en el otro de la manera más simple.
