Para simplificar, supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos para una función f (x) tal que:
f (x0) = f (1) = 7
f (x1) = f (2) = 5
f (x2) = f (3) = 2
donde x0 = 1, x1 = 2, x3 = 3
Ahora digamos que queremos encontrar la curva que mejor se ajuste a estos puntos.
Podemos decir:
f (x) = 7 * y1 + 5 * y2 + 2 * y3
tal que
cuando x = 1, y1 = 1 e y2 = y3 = 0
cuando x = 2, y2 = 1 e y1 = y3 = 0
cuando x = 3, y3 = 1 e y1 = y2 = 0
Entonces nuestra tarea es encontrar tales y1, y2 e y3.
Para obtener y1 que es cero para x = 2 yx = 3,
y1 = (x-2) (x-3)
Esta función es cero para x = 2 yx = 3 pero y1 = 2 para x = 1. Queremos que sea 1 para x = 1. Así que vamos a normalizarlo para x = x0 = 1:
y1 = (x-2) (x-3) / (x0-x) (x0-3) = (x-2) (x-3) / 2
similar:
y2 = (x-1) (x-3) / (x1-1) (x1-3) = – (x-1) (x-3)
y3 = (x-1) (x-2) / (x2-1) (x2-3) = (x-1) (x-2) / 2
Finalmente reemplazamos y1, y2 e y3 con las expresiones anteriores en
f (x) = 7 * y1 + 5 * y2 + 2 * y3 Que en realidad es legendres polinomial.
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Entonces, intuitivamente, en realidad estamos tomando funciones normalizadas que son cero para todos los demás puntos excepto xi, luego escalamos esa función normalizada a yi para x = xi, y sumamos todas esas funciones para todos xi.
