Esto es lo que he observado al observar el patrón de algunos cuadrados:
El número en el cuadrado ( i , j ) es XOR bit a bit de i y j en binario. Por ejemplo, queremos los contenidos de la celda (10, 7) primero los escribimos en binario (1010, 0111). Luego hacemos XOR de las dos coordenadas para obtener 1101. Entonces este cuadrado debe ser 13.
Prueba de por qué esto funciona (aunque esta parte puede no ser muy clara):
Para demostrar que esto funcionará, hemos demostrado dos cosas: todos los números en una fila o columna son diferentes y el segundo i XOR j es el número más pequeño que aún no ha ocurrido en esa fila o columna.
- Si [math] y_n = \ frac {b} {y_ {n-1}} + a, [/ math] entonces, ¿qué es [math] y_n [/ math] en términos de [math] y_0 [/ math]?
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El primer paso es obvio por el hecho de que para una i fija , el valor de i XOR j será diferente para diferentes valores de j . De manera similar, para un valor fijo de j , todos los elementos en esa columna serán diferentes.
Ahora tome cualquier n menos que i XOR j . Necesitamos mostrar que este número ocurre en la columna o en la fila de una celda inferior. Para esto, considere los valores de n XOR i y n XOR j . Si j> n XOR i , entonces hemos terminado. De lo contrario, j < n XOR i . También tenemos n < j XOR i . Esto implica i > n XOR j (para 3 números enteros distintos, al menos uno debe ser mayor que el XOR de los otros dos).
