Perdóneme por mi uso de los términos matemáticos ya que no soy hablante nativo. Las correcciones son bienvenidas y apreciadas.
Paso uno: Encuentra la solución general a la parte homogénea.
La ecuación de valor propio es
[matemáticas] \ lambda ^ 2 – 8 \ lambda – 33 = 0 [/ matemáticas],
lo que implica que los valores propios son
[matemáticas] \ lambda_1 = 11, \ lambda_2 = -3 [/ matemáticas].
Por lo tanto, la solución general a la parte homogénea de la ecuación original es
[matemáticas] C_1 11 ^ k + C_2 (-3) ^ k [/ matemáticas],
donde [math] C_1, C_2 [/ math] son constantes.
Paso dos: Encuentra una solución específica a la ecuación original.
Entonces necesitamos una solución específica para la solución no homogénea original. Desde el lado derecho de la solución original, sabemos que la solución específica tiene la forma de [matemáticas] Ak + B [/ matemáticas]. Lleva esto de vuelta a la ecuación original, obtienes
[matemáticas] (Ak + B) – 8 [A (k-1) + B] – 33 [A (k-2) + B] = 28 – 80k [/ matemáticas].
Así
[matemáticas] 74A-40B-40Ak = 28-80k [/ matemáticas]
lo que implica que
[matemáticas] A = 2, B = 3 [/ matemáticas].
Entonces, una solución específica a la ecuación original es [matemática] 2k + 3 [/ matemática].
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Paso tres: Encuentre la solución final a la ecuación original, de acuerdo con las condiciones de inicialización.
De lo anterior adquirimos la solución general a la ecuación no homogénea original como
[matemáticas] S (k) = C_1 11 ^ k + C_2 (-3) ^ k + 2k + 3 [/ matemáticas].
Como [matemáticas] S (0) = 5, S (1) = 13 [/ matemáticas],
[matemáticas] C_1 + C_2 = 2, 11C_1 – 3C_2 = 8 [/ matemáticas].
Entonces obtenemos [matemática] C_1 = C_2 = 1 [/ matemática] y así la solución a la ecuación original con las condiciones de inicialización dadas es que
[matemáticas] S (k) = 11 ^ k + (-3) ^ k + 2k + 3. [/ matemáticas]
