Asociado a la extensión E de un campo F hay un grupo de automorfismo Aut ( E / F ) que consiste en todos los automorfismos del campo más grande que fijan el campo más pequeño.
Una extensión de Galois F de E es una extensión algebraica donde el campo fijo de Aut ( E / F ) es el campo base F.
El problema inverso de Galois pregunta si cada grupo finito aparece como un grupo de Galois de alguna extensión de Galois de los números racionales Q. Se ha demostrado que muchos grupos finitos aparecen así. Shafarevich demostró que los grupos con solución son, pero el problema general aún está abierto.
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En cuanto a la importancia del problema, es una cuestión de representación. Si el grupo puede estar tan representado, entonces esa es una manera más de entenderlo. Si resulta que algún grupo no puede estar tan representado, ese sería un resultado interesante en sí mismo.
