Aquí está la recursividad:
[matemática] a_n = a_ {n-1} + a_ {n-2} [/ matemática] con dos condiciones iniciales: [matemática] a_0 [/ matemática] y [matemática] a_1 [/ matemática].
Para la secuencia habitual, [matemáticas] a_0 = a_1 = 1 [/ matemáticas].
Puede resolver esta recursividad buscando soluciones de la forma:
[matemáticas] a_n = r ^ n [/ matemáticas]
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Conectar esto y factorizar la potencia común más baja de [math] r [/ math] produce una restricción cuadrática:
[matemáticas] r ^ n = r ^ {n-1} + r ^ {n-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica r ^ 2-r-1 = 0 [/ matemáticas]
Resolver esta cuadrática da
[matemáticas] r = \ frac 1 2 \ pm \ frac {\ sqrt 5} 2 [/ matemáticas]
Entonces, las soluciones generales son una combinación lineal de la forma:
[matemáticas] a_n = c_1 \ left (\ frac 1 2 + \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) ^ n + c_2 \ left (\ frac 1 2 – \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) ^ n [ /matemáticas]
Enchufar [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_0 = c_1 + c_2 \ implica c_2 = a_0-c_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_1 = c_1 \ left (\ frac 1 2 + \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) + c_2 \ left (\ frac 1 2 – \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) [/ math]
[matemáticas] a_1 = c_1 \ left (\ frac 1 2 + \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) + (a_0-c_1) \ left (\ frac 1 2 – \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] a_1 = c_1 {\ sqrt 5} + a_0 \ left (\ frac 1 2 – \ frac {\ sqrt 5} 2 \ right) [/ math]
[matemáticas] c_1 = \ frac {a_1} {\ sqrt 5} -a_0 \ left (\ frac 1 {2 {\ sqrt 5}} – \ frac {1} 2 \ right) [/ math]
[matemáticas] c_2 = – \ frac {a_1} {\ sqrt 5} + a_0 \ left (\ frac 1 {2 {\ sqrt 5}} + \ frac {1} 2 \ right) [/ math]
