¿Cómo se eleva un número o matriz a una potencia matricial?

Bueno, puede transformar cualquier función que tenga la serie McLaurin en una función matricial sustituyendo la variable real / compleja con una matriz y utilizando potencias de matriz y suma. Eso es lo que esencialmente sugiere el usuario de Quora.

Sin embargo, quería agregar que he leído algunos documentos de criptografía, donde los autores definieron una visión bastante interesante sobre el poder de la matriz, más específicamente, extendieron el concepto de multiplicación de la matriz. Como saben, la multiplicación de matrices se define en términos de elementos de la siguiente manera:

[matemáticas] C _ {[n \ veces m]} = A _ {[n \ veces p]} \ veces B _ {[p \ veces m]} [/ matemáticas]

[matemática] c_ {ij} = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ p a_ {ik} \ times b_ {kj} [/ math]

Entonces, lo que hicieron los autores fue reemplazar la suma con el producto y reemplazar la multiplicación con la potencia:

[matemáticas] C = A ^ B [/ matemáticas]

[matemática] c_ {ij} = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ p a_ {ik} ^ {b_ {kj}} [/ matemática]

Aparentemente, esta función de dos matrices produce algunos resultados interesantes cuando se usa con matrices cuadradas sobre [matemáticas] Z ^ {*} _ {2 ^ n – 1} = \ lbrace 1, 2, \ ldots, 2 ^ n – 2 \ rbrace [/matemáticas]

Podemos definir la función exponencial de la matriz por su serie de Taylor de la siguiente manera:
[matemáticas] \ exp (A) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {A ^ n} {n!} [/ matemáticas]
y luego extienda esto a otras bases usando la fórmula [math] b ^ A = \ exp (A \ log (b)) [/ math]. No tengo idea de lo que podría significar algo como [matemáticas] A ^ A [/ matemáticas].