¿Qué prerrequisito matemático necesito para dominar los conceptos de la teoría del caos?

Cosas como el cálculo, la teoría de conjuntos y otros temas más avanzados son útiles pero no esenciales. Un sistema de estudio favorito es el mapa logístico:
[matemáticas] x_n = r x_ {n-1} (1-x_ {n-1}) [/ matemáticas]
básicamente solo una aplicación repetida de una función cuadrática. Al trazarlo con una computadora puede descubrir algunas propiedades muy interesantes. Creo que uno de los primeros en explorarlo usó nada más que una calculadora de bolsillo.

A continuación se muestra el “diagrama de bifurcación”, que es una aplicación repetida del mapa para diferentes valores del parámetro, r . Para valores bajos, converge a un único punto fijo, luego a medida que lo incrementa a un ciclo límite de dos puntos y así sucesivamente.

Un buen libro para ver es “Encuentros con el caos” de Denny Gulick. Toma un enfoque matemático puro, pero no obstante lo mantiene muy accesible: no hay nada más allá del primer año. Un estudiante de secundaria determinado podría entenderlo.

Solo para complementar rápidamente las otras respuestas, una gran introducción a la teoría del caos que construye los requisitos previos es el libro extremadamente bien escrito Nonlinear Dynamic and Chaos , de Steven Strogatz. [1] Repasa los conceptos topológicos básicos y analíticos reales que debe conocer para un curso de nivel superior de pregrado en teoría del caos.

De hecho, cualquier cosa escrita por Steven Strogatz probablemente valga la pena leer.

Notas al pie

[1] Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (estudios en no linealidad): Steven H. Strogatz: 9780813349107: Amazon.com: Libros

Como David Joyce implica, la mayoría de los sistemas dinámicos no comparten elementos comunes como en otros sistemas matemáticos; así que no hay una teoría o enfoque genérico profundo unificador. Cada sistema es único y puede mostrar un comportamiento rico que puede describirse solo utilizando enfoques específicos.

Si tuviera que describir temas relevantes para la investigación de sistemas dinámicos físicos, mencionaría álgebra lineal, cálculo, teoría de sistemas lineales (invariante en el tiempo), programación numérica (también conceptos básicos sobre cómo las computadoras manejan los números), procesamiento / filtrado (discreto) de señales, conceptos en análisis de estabilidad lineal, estadística y probabilidad. En ese orden.

Las técnicas se vuelven muy especializadas más allá de eso. Dependiendo de qué tan profundo desee entrar en un problema, es muy probable que necesite un poco de geometría algebraica y topología para el análisis. Muchos problemas en los sistemas dinámicos son susceptibles de técnicas numéricas y trucos. Entonces, a veces puedes ser inteligente y resolver preguntas complejas usando programación numérica / visualización gráfica sin recurrir a las matemáticas.

Por “matemática del caos” entiendo que te refieres a sistemas dinámicos no lineales. Los requisitos previos típicos serían cosas como análisis real a nivel de posgrado, teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y análisis funcional. Dependiendo del contexto específico, es posible que también desee conocer algo de geometría.

Cierta competencia en análisis real, álgebra lineal y topología de conjuntos de puntos para empezar. Más allá de eso, dependiendo del tipo de sistemas que le interesen, es posible que necesite un curso de topología, teoría de medidas, análisis funcional y geometría diferencial para obtener una comprensión más profunda.