Un VOLUMEN fractal puede tener un área infinita.
Pensemos primero en una forma más simple: la curva de copo de nieve de Koch. Una curva de Koch se puede considerar como un triángulo con triángulos encendidos, con triángulos en los triángulos y triángulos en los triángulos en los triángulos … bueno, se entiende la idea. Aquí está (más o menos):
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La curva de Koch se puede producir utilizando la siguiente receta:
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Retire el tercio central de cada lado y reemplácelo con los otros dos lados de un triángulo equilátero.
- Repita el paso 2 en cualquier forma que tenga ahora.
Puede probar que cada vez que realiza el paso 2, el lado en el que está trabajando se reemplaza por cuatro lados, cuya longitud totaliza 4/3 de la longitud original. Así:
Esto es cierto para cada lado de cualquier forma que tenga en ese punto. Esto significa que la longitud del borde de la forma total aumenta en un 33% por cada iteración que realice. Nunca deja de crecer y eventualmente (en el límite, técnicamente) será infinito.
Puedes imaginar claramente cómo un volumen con una superficie fractal podría tener una superficie infinita.
Sin embargo, una forma fractal como la curva de copo de nieve de Koch no tiene , en general, un área infinita. Pensemos por qué.
Cada vez que agrega un triángulo a un lado, hace dos cosas: hace que la longitud de cada lado sea un tercio tanto como antes, y hace que el número de lados sea cuatro veces mayor. Esto significa que en cada paso, hay cuatro veces más triángulos que antes. Pero los triángulos son un noveno del tamaño, no un tercero, porque tienes que multiplicar la longitud del lado por sí mismo para obtener el área. Entonces, en general, el área que está agregando es 4/9 tan grande cada vez. Con el tiempo, esta cantidad se hará cada vez más pequeña. Eventualmente, nuevamente, en el límite, no agregará suficiente área para hacer la diferencia.
Esto significa que el volumen de un poliedro fractal también es típicamente finito.
Digo “típicamente” porque claramente puedes hacer formas cuya área no está delimitada por un lado (como una parábola) pero su área infinita no es una propiedad de su fractalidad: ¡una parábola no es un fractal!
