La identidad de Parseval básicamente establece que la norma en el espacio de funciones original de Hilbert es igual a la norma en el dominio de Fourier correspondiente (para simplificar, estoy considerando funciones definidas en [matemáticas] [- \ pi, \ pi] [/ matemáticas] ):
[matemáticas] \ | f \ | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ \ pi | f | ^ 2 = \ sum_n | \ hat {f} _n | ^ 2 = \ | \ hat {f} \ | ^ 2 [/ math]
([math] u_ \ alpha [/ math] en los detalles de la pregunta es solo la base de Fourier). Ahora puede expresar productos internos en términos de normas:
- ¿Es esta paradoja sobre el teorema de incompletitud solucionable? (Lea el comentario para ver la paradoja).
- ¿Cómo es tomar 18.315 (Teoría combinatoria) en el MIT?
- ¿Las matemáticas son por elección o por fuerza?
- ¿Qué áreas de matemáticas están en el límite entre lo aplicado y lo puro?
- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ frac {x \ sin (x)} {1+ \ cos (x)} \, \ mathrm dx [/ math]?
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ frac {1} {2} (\ | f + g \ | ^ 2 – \ | f \ | ^ 2 – \ | g \ | ^ 2) [/ math]
Entonces, usando la identidad de Parseval anterior, inmediatamente obtienes [matemática] \ langle f, g \ rangle = \ langle \ hat {f}, \ hat {g} \ rangle [/ math], que es la ecuación que estás buscando .
