Usando Mathematica y Wolfram Alpha, uno puede verificar que la integral
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {1- \ cos (t)} {t} \, dt [/ math]
no converge
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Intentar aplicar la transformación de Laplace dará el mismo resultado.
La transformada de Laplace de una función [matemática] f (t) [/ matemática] generalmente se define como:
[matemáticas] {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt,} [/ matemáticas]
En este caso [math] \ displaystyle f (t) = \ frac {1- \ cos (t)} {t} [/ math].
Dejar [math] s = 0 [/ math] antes de integrar y antes de calcular la transformación de Laplace devuelve la integral [math] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {1- \ cos (t)} {t} \ , dt [/ math], que no converge.
La transformación de Laplace de [math] \ frac {1- \ cos (t)} {t} [/ math] viene dada por (verificado con Mathematica):
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} _t \ left [\ frac {1 – \ cos (t)} {t} \ right] (s) = \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ frac {1} {s ^ 2} + 1 \ derecha) [/ matemáticas]
Dejar [math] s = 0 [/ math] en el resultado anterior (después de calcular la transformación) da [math] \ infty [/ math] como respuesta. Por lo tanto, el uso de la transformación de Laplace no cambiará el hecho de que la integral dada no converge en [math] (0, \ infty) [/ math].
