¿Qué es [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math]?

Hmm no estoy seguro de esto.
Pero esto es hasta donde llega mi educación personal:

∞ no es un número y no debe tratarse como un número.

No puedes hacer operaciones matemáticas en el infinito, es como tratar de dividir una manzana por 5, son entidades completamente separadas para mi comprensión.
Sé lo que estás pensando, que por ejemplo

∞ + 1 = ∞

Sí, esto es cierto, pero solo porque podemos tener un sentido lógico de que agregar algo al número de cosas al infinito (incluidos los enteros negativos) no lo hace más pequeño y, por lo tanto, sigue siendo infinito.

PD: no confíes en esto, solo soy un estudiante de pregrado de CS …

Nota al margen sobre cómo llegué a esta conclusión:
Encontré esta idea al tratar de comprender infinitos contables e incontables. Se explicó que no se puede hacer una biyección entre infinitos contables e incontables. Se me ocurrió la idea de que eliminar el decimal de un número real crearía tal biyección. Sin embargo, el profesor rechazó mi idea diciendo que si este número real era irracional, entonces el número que estoy tratando de producir eliminando el decimal no existe, o no puedo saber cuál es este número. Por lo tanto, podemos concluir que el infinito no es un número … de lo contrario, podemos hacer una biyección entre infinitos contables e incontables.

La gente no matemática a veces me pregunta: “¿Sabes matemáticas, eh? Dime algo que siempre me he preguntado: ¿Qué es el infinito dividido por el infinito? “Solo puedo responder:” Las palabras que acabas de pronunciar no tienen sentido. Esa no era una oración matemática. Hablaste de ‘infinito’ como si fuera un número. No es. También puede preguntar: “¿Qué es la verdad dividida por la belleza?” No tengo ni idea. Solo sé cómo dividir números. ‘Infinito’, ‘verdad’
‘belleza’, esos no son números “.

Tomado de “Prime obsession” por Derbyshire

El resultado es indefinido. Hay ciertas cosas que puedes hacer con infinitos matemáticos, pero debes tener cuidado. Por ejemplo, puede afirmar con certeza que [math] 2 \ infty = \ infty [/ math], [math] 3 \ infty = \ infty [/ math] o incluso [math] \ infty \ times \ infty = \ infty [/ math], pero no hay un significado único para [math] \ infty / \ infty [/ math], por lo que no se define.

Dejame darte un ejemplo. Tome la función [matemáticas] f (x) = 1 / x ^ 2 [/ matemáticas]. Su límite cuando [math] x [/ math] va a cero es infinito: [math] \ lim \ limits_ {x \ to 0} 1 / x ^ 2 = \ infty [/ math]. Del mismo modo, el límite de la función [matemática] g (x) = 1 / x ^ 4 [/ matemática] es infinito cuando [matemática] x [/ matemática] va a cero. Sin embargo … [matemática] f (x) / g (x) = 1 / x ^ 2 / (1 / x ^ 4) = x ^ 2 [/ matemática] y esto definitivamente no llega al infinito cuando [matemática] x [ / math] va a cero … más bien, [math] \ lim \ limits_ {x \ to 0} f (x) / g (x) = 0 [/ math]. Pero [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a 0} g (x) / f (x) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a 0} 1 / x ^ 2 = \ infty [ /matemáticas]. Entonces, este ejemplo muestra que [math] \ infty / \ infty [/ math] puede ser infinito o 0. Otros valores también son posibles.

Se espera que cada número tenga un valor único. Si es así, lo llamamos determinado . Si no, decimos que el valor es indeterminado . Por ejemplo, ¿cuál es el valor de la raíz cuadrada de 4 ? Es indeterminado Pero la raíz cuadrada positiva de 4 y la raíz cuadrada negativa de 4 están determinadas. Si definimos “división” en términos simples, la indeterminación de ∞ / ∞ se vuelve clara.

¿Qué significa “dividir a por b “? a / b simplemente significa

encuentra un número que, cuando se multiplica por b , da a.

En otras palabras, significa

encontrar x, tal que bx = a .

Entonces, ∞ / ∞ significa

x tal que ∞. x = ∞.

Ahora, tome su número positivo favorito, y satisfará la condición; entonces x podría ser algo positivo. Lo que significa que ∞ / ∞ tiene múltiples valores: 1, 100, 5000, 2.564345, e , ∞, etc. Es por eso que lo llamamos indeterminado: no se puede determinar el valor único que representa ∞ / ∞. Se podría aplicar un razonamiento similar para 0/0.

No se puede dividir infinito por infinito. Por tonto que parezca, el infinito no es igual al infinito. Infinito solo significa ‘ indefinidamente muy grande’. Por ejemplo, digo que tengo una gran cantidad de zapatos conmigo y tú dices que tienes una gran cantidad de calcetines contigo. ¿Significa esto que tenemos exactamente la misma cantidad de zapatos y calcetines entre nosotros? ¡No es asi! Por lo tanto, una gran cantidad no es igual a otra cantidad muy grande. Del mismo modo, ¡Infinito no es igual a infinito! Y por lo tanto, Infinity dividido por Infinity no es posible y ciertamente no es igual a 1.

A2A

Infinito es cualquier número que está más allá de nuestra comprensión. Esto no tiene un solo valor. En matemáticas, infinito se refiere a cualquier número que sea muy grande. Ahora este infinito también puede tener un número mayor que él. Pero eso también se llamaría infinito. Cuando ambos números se dividen, digamos que el numerador tiene una magnitud mayor, obtendríamos una fracción impropia. Si el denominador tiene un valor mayor, daría una fracción adecuada. Entonces, esencialmente no podemos determinar la respuesta ni el tipo de fracción, si la hay. Entonces sería indeterminado.

Bueno, por supuesto, “Infinito” en sí mismo significa “No finito” o “Indefinido” en sí mismo.

Entonces, lo que no está definido en sí mismo no se puede dividir, multiplicar, restar o sumar consigo mismo ni con ningún otro número. Es indiscutible.

Más bien, tomaría un enfoque humorístico para responder su pregunta:

∞ / ∞ = Agujero negro

😉

Feliz infinitamente .. !!

No hay un resultado único. “División” es un concepto demasiado contundente para usar en procesos infinitos. Tenemos que decir exactamente qué entendemos por división. Y exactamente lo que queremos decir con infinito.

1. Pruebe una definición práctica diaria de división

Veamos los enteros m, ny k. Defina “m / n = k” como “Puedo agrupar m elementos en n grupos iguales de k elementos”. Por ejemplo, 12/2 = 6 significa que puedo agrupar 12 elementos en 2 grupos iguales de 6 elementos.

Digamos que tengo dos barajas finitas de cartas. El Deck1 tiene 12 cartas y el Deck2 tiene 2 cartas. Si digo “12/2 = 6”, eso significa que puedo robar 6 cartas del Deck1 y 1 carta del Deck2, reservarlas, robar 6 cartas más del Deck1 y 1 carta más del Deck2. Si me quedo sin cartas, tengo que quedarme sin cartas en ambas barajas en el mismo sorteo.

Usando esta definición, puedo dividir 12 por 2, o puedo dividir 12 por 6. No puedo dividir 12 por 7 bajo esta definición, porque me quedaré sin cartas en un mazo antes de que se me acaben las cartas en el otro. (Podría arreglar mi división haciendo un seguimiento del “resto” pero no importa eso aquí).

Ahora defina un mazo de cartas infinito como “una caja de la que siempre puedo sacar una carta más”. Haga que Deck1 y Deck2 sean infinitos. ¿Puedo sacar siempre 6 del Deck1 y 1 del Deck2, sin quedarme sin un mazo antes que el otro? Seguro. Entonces, ¿”infinito” / “infinito” = 6? De acuerdo con mi definición simple de división anterior, claro. ¿Puedo sacar siempre 7 del Deck1 y 17 del Deck2 sin quedarme sin un mazo antes que el otro? Sí. Entonces, ¿es “infinito” / “infinito” = 17/7? Sí, la forma en que he definido la división.

Si defino la división de esta manera, “infinito” / “infinito” = cualquier número racional que quiera. Eso suena algo genial al principio, pero no es bueno para mucho. Puedo proponer otras definiciones de división que den la misma respuesta que esta para m finito, pero que den respuestas diferentes para procesos infinitos. Por ejemplo, en lugar de prohibir que los dos mazos se queden sin cartas en diferentes momentos, podría requerir que los dos mazos se queden sin cartas, y al mismo tiempo. Los mazos infinitos nunca se quedan sin cartas, así que no obtengo ninguna respuesta. Todavía no es muy interesante.

2. Pruebe con otra definición para las dos cantidades infinitas

Tal vez, en cambio, mis dos cantidades infinitas se crean mediante un proceso que las vincula, de modo que realmente siempre estén en una proporción particular. Tal vez la forma en que se construyen el Deck1 y el Deck2 es que algún tipo sigue agregando 6 cartas al Deck1 y 1 carta al Deck2, siempre al mismo tiempo, siempre en esa proporción. Nunca se detiene, por lo que no hay un número para cuántas tarjetas, pero realmente hay un número para la relación. En ese caso puedo definir una división de cantidades infinitas:

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {6n} {n} = 6} [/ matemáticas]

Ahora estamos llegando a alguna parte. Decimos, bueno, cada término finito de esta secuencia es seis. ¿Derecho? Así que vamos de puntillas al hielo y digamos que es una secuencia infinita de 6s. Entonces puedo decir “la respuesta es 6” para “infinitamente n”, y puedo definir exactamente lo que quise decir con eso si la mierda comienza a desmoronarse cuando construyo más matemáticas sobre esto.

Para eso es bueno este material sobre definiciones. En algún momento más tarde podré volver y comprobar, ¿qué demonios quise decir exactamente cuando dije “6n / n = 6 para n infinita”? ¿Eso todavía se aplica en alguna nueva situación extraña?

Incluso aquí, las personas tenían que hacer mucho trabajo para comprender lo que podían y no podían hacer con los límites.

La respuesta es indefinida. ¿Qué significa indefinido? Significa que la expresión [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] no contiene ninguna información útil. Considere los siguientes ejemplos simples:

• [matemáticas] y = \ lim_ {x \ a + \ infty} \ frac {e ^ x} {x ^ 2 + 3x + 1} [/ matemáticas]

Si sustituye [matemática] \ infty [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] obtendría [matemática] y = \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática], pero en realidad, [matemática] y = \ infty [/ math].

• [matemática] y = \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {x-2} {x ^ 2 + 3x + 1} [/ matemática]

Si sustituye [matemática] \ infty [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] obtendría [matemática] y = \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática], pero en realidad, [matemática] y = 0 [/ matemática].

• [matemáticas] y = \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {2x ^ 2-x + 2} {x ^ 2 + 3x + 1} [/ matemáticas]

Si sustituye [matemática] \ infty [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] obtendría [matemática] y = \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática], pero en realidad, [matemática] y = 2 [/ matemáticas].

Entonces, la expresión [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] se puede lograr por muchos medios diferentes y no proporciona ninguna información útil por sí misma. Por lo tanto, [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] no está definido

Espero que ayude

La división es una operación que generalmente solo se realiza en un par de números reales. Infinity no es un número real, por lo que su pregunta, como se le preguntó, no tiene sentido (a menos que trabaje en un sistema de números no estándar).

Uno podría tratar de interpretar su pregunta usando límites, pero la respuesta dependería del límite particular que eligió hacer. Por ejemplo, n / n, n ^ 2 / n, n / n ^ 2, & kn / n (para k> 0 ) se ven como infinito dividido por infinito ya que n tiende a infinito, pero cada uno tiene un límite diferente. Las respuestas (en orden) son 1, infinito, 0 yk . Entonces vemos que podemos obtener cualquier número real no negativo o incluso infinito como una posible respuesta. Y por esa razón, la división no se ha extendido para aplicarse a este problema (incluso en los sistemas numéricos habituales que incluyen el infinito como elemento).

Las matemáticas son simplemente una abstracción de la realidad, por lo tanto, uno debe pensar en las matemáticas en el contexto de la realidad. Sin ese contexto, las matemáticas se vuelven lógicamente inconsistentes.

Aquí hay una respuesta lógicamente consistente a su pregunta.

La palabra “infinito” significa “sin límite” o “indefinido”. La palabra “dividir” significa “cuántos grupos más pequeños existen dentro de un grupo más grande”.

Entonces, para obtener una respuesta a su pregunta, pregúntese: “¿Cuántos grupos indefinidos existen dentro de un grupo indefinido?”

Contempla eso y si tienes dificultades, házmelo saber.

Infinito no es un número, y “dividido por” solo se define para números (si somos técnicos, para elementos de un campo). Entonces, en sentido estricto, [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] no equivale a nada.

Hay una interpretación más amplia, donde [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] es igual a [math] \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} \ frac {f (t)} {g (t)} [/ math], suponiendo que [math] f (t), g (t) \ rightarrow \ infty [/ math]. Lamentablemente, este límite no tiene un valor único: es por eso que [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] se conoce como una “forma indeterminada”.

Hay una razón por la cual [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] no está definida, porque no obtenemos suficiente información de esa declaración para saber cuál es la respuesta. Puede ser 0, ∞ o cualquier cosa en el medio. Déjame hacerte esta pregunta, “¿Qué infinito es más grande?” ¿Cómo empiezas a responder eso?

Hablemos de algunas secuencias matemáticas, generadas por las siguientes funciones:

[matemáticas] f (x) = \ frac {x ^ 2 + 1} {x} = \ {2, \ frac {5} {2}, \ frac {10} {3}, \ puntos \} [/ matemáticas ]

[matemáticas] g (x) = \ frac {x} {x ^ 2 + 1} = \ {\ frac {1} {2}, \ frac {2} {5}, \ frac {3} {10}, \ puntos \} [/ matemáticas]

[matemáticas] h (x) = \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 1}} {x} = \ {\ sqrt {2}, \ frac {\ sqrt {5}} {2}, \ frac {\ sqrt {10}} {3}, \ puntos \} [/ math]

A partir de esto, si reemplazaras n con ∞, cada secuencia sería [matemática] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática]. Sin embargo, las tres respuestas a [matemáticas] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemáticas] le dan un resultado diferente:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} g (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} h (x) = 1 [/ matemáticas]

Si graficara esto, obtendría:

Puede ver que cada función se mueve hacia el infinito (f), hacia 1 (h) y hacia 0 (g).

Por lo tanto, solo pedir el valor de [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] no tiene sentido sin más contexto. El contexto que estamos buscando es algo así como, “¿cómo llegaste al infinito, en relación con qué más?” Sin una respuesta a esa pregunta, es como preguntar “¿Por qué los panqueques disparan láseres?” “¿Qué panqueques?”, “¿Dónde?”, “En general, o simplemente panqueques específicos?”

Infinito es un término para expresar una cantidad cuando es demasiado alta / grande / lejana / pesada / etc. para expresarse correctamente en comparación con la misma cantidad. Por ejemplo, el peso del agua de mar en comparación con el de un vaso. Si la cantidad de un término muy grande / grande no puede definirse exacta / correctamente en unidades, la expresamos como infinita (distancia, masa, etc.), como por ejemplo, al estudiar la distancia focal de una lente, consideramos los rayos de luz de un vela, colocada a una distancia de aproximadamente un metro, como proveniente del infinito. Esto se debe a que la relación de la distancia entre la vela (la fuente de luz) y la lente (L) y la longitud de onda (λ) de los rayos de luz (que son del orden de varios cientos de micrómetros) es demasiado grande, por lo tanto, se expresa como “los rayos de luz que provienen del infinito. Para decidir el término infinito pongo 2 ejemplos. (1) para que un niño de 2 años vaya, de pie, a la casa de su tío que está a una distancia de un kilómetro , es una distancia infinita, digamos α1. (2) el peso de un átomo de metal pesado en comparación con un electrón es infinito, digamos α2.
Ahora, en ambos casos, tenemos términos de “infinito”, que no tienen unidades (como, sec, kg, km / hr, etc.) y, en segundo lugar, tienen valores de relación real que probablemente sean diferentes. ¿Podemos dividir dos tipos de razones derivadas de diferentes cantidades? Por lo tanto, infinito dividido por infinito no tiene sentido

Creo que depende de tu definición de infinito. El concepto es difícil de entender porque el mundo en que vivimos ahora está lleno de limitaciones y algo sin limitaciones nos confunde. Además, como lo ilustra un impresionante video de Minute Physics (busque “Counting Infinity” de Minute Physics), algunos infinitos son más grandes que otros. Lo que dice Minute Physics es básicamente esto. Cuando dices que hay n cantidad de cosas (digamos ovejas), todo lo que estás diciendo es que puedes asignar números del 1 al n a cada oveja. Ahora, tomemos el conjunto infinito de enteros y todos los números del 0 al 1. Dibuje una línea del 1 a cualquier número del 0 al 1. Haga esto de nuevo con 2, 3, 4, 5, etc. La cuestión es que siempre poder encontrar un número del 0 al 1 que sea único. Eventualmente, te quedarás sin números enteros. Entonces, después de esa explicación larga y posiblemente inútil, algunas, infinitas, son más grandes que otras. Entonces, si divide infinito por infinito, dependiendo de su definición y comprensión del infinito, su respuesta será diferente. Mucha gente dirá 1, pero si un infinito es más grande que el otro, es imposible decir cuál es la respuesta sin saber exactamente cuál es el valor de cada infinito en relación con la cantidad infinita de infinitos.

¿Qué es (Reloj de alarma de fresa) / (Reloj de alarma de fresa)? ¿Es 1 también?

Esa pregunta tiene tanto sentido como la tuya. Lo cual es “sin sentido”. Infinito, o ∞, no es un número. O una variable. O cualquier otra cosa que puedas usar en una expresión matemática.

Sí, sé que lo ves usado en expresiones matemáticas todo el tiempo. Lo que significa allí es un marcador de posición para “cualquier valor que sea significativo aquí puede aumentar sin límites y de manera indeterminada”.

Supongo que la persona que hizo esta pregunta se encontró con [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] al intentar calcular un límite. Es importante recordar que el infinito no es un número (¡aunque hay una gran comunidad de Quora que piensa lo contrario!).

En muchos casos, se puede encontrar el límite de una expresión compuesta al encontrar los límites de los constituyentes de la expresión y aplicar las operaciones aritméticas encontradas en la expresión. Pero en algunos casos esto no es posible; [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] es un ejemplo de una forma indeterminada .

Cuando uno encuentra una forma indeterminada, necesita usar otras técnicas para encontrar el límite, como la eliminación algebraica o la regla de l’Hôpital.

La división es una operación que toma dos parámetros, el dividendo y el divisor, y calcula el cociente. La división es una reducción de dos puntos en la recta numérica a otro punto en la misma recta numérica, como un objeto en forma de L que toca el dividendo con la pata larga, el divisor, con la pata corta, y la curva resulta por encima del cociente (no es necesariamente un ángulo [matemático] 90 [/ matemático] [matemático] ^ {\ circ} [/ matemático]). Para unir el objeto en forma de L a la recta numérica, debemos tener números como parámetros. Infinito no es un número, por lo que los parámetros que propone se rechazan y la operación de división nunca tiene la oportunidad de calcular el cociente.

Más arriba describí más o menos la operación de división utilizada en matemáticas hoy en día, pero podemos extender esa definición para reconocer un caso especial donde ambos parámetros son infinitos, [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math]. Esta notación se ha utilizado para describir una de las dos formas indeterminadas en una discusión sobre la regla de L’Hospital (silencioso). La forma indeterminada surge de esto:

[math] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} [/ math] [math] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math]. La regla de L’Hospital dice que este resultado es equivalente a [math] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {df (x)} {dg (x)} [/ math]. Por ejemplo, [math] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {x} {\ log x} [/ math] tiene la forma indeterminada de [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math]: no está inmediatamente claro qué número [math] \ frac {x} {\ log x} [/ math] se acerca a medida que aumentamos [math] x [/ math]. Sabemos por cálculo que [matemática] \ frac {dx} {d \ log x} = x [/ matemática], por lo que por la regla de L’Hospital, sabemos que [matemática] \ underset {x \ to \ infty} { \ textrm {lim}} \ frac {x} {\ log x} [/ math] es equivalente a [math] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} x [/ math], que en turn es equivalente a [math] \ infty [/ math], porque a medida que aumentamos [math] x [/ math], el resultado crece sin límite. Entonces, ¿podemos simplemente extender la división para aceptar [matemáticas] \ frac {\ infty} {\ infty} = \ infty [/ matemáticas]?

La respuesta es no. Aquí hay un contraejemplo: [matemáticas] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {\ log x} {x} = \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {1} {x} = \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {0} {1} = 0 [/ math]. El lado izquierdo es una forma indeterminada [matemática] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemática], que, si seguimos la misma lógica que el primer ejemplo, implicaría [matemática] \ frac {\ infty} { \ infty} = 0 [/ math].

Aquí hay un contraejemplo aún más interesante: [matemáticas] \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {x ^ 2 + 4x} {4x ^ 2 + x} = \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {2x + 4} {8x + 1} = \ underset {x \ to \ infty} {\ textrm {lim}} \ frac {2} {8} = \ frac { 1} {4} [/ matemáticas]. ¿[Math] \ frac {\ infty} {\ infty} = \ frac {1} {4} [/ math]?

Si seguimos encontrando contraejemplos, descubriremos que si permitimos que la operación de división acepte infinito como parámetro, tendrá que responder con la unión de un conjunto infinito de números y [matemática] \ {\ infty \} [ /matemáticas]. ¿No es más elegante la división que se limita a los números? Propongo dejarlo como está, incapaz de responder a su pregunta.

Déjame responderte en dos pasos: primero, ¿qué significa [math] + \ infty [/ math] significa:

Segundo, como [math] 1 / + \ infty \ a 0 ^ + [/ math], esto es lo mismo que preguntar sobre [math] 0 ^ + \ times + \ infty [/ math], que se muestra a continuación. La afirmación más precisa que puede hacer es que [matemática] \ frac {+ \ infty} {+ \ infty} \ to (0, \ infty) [/ math], un intervalo que ni se aprieta hacia un número real (así que no hay límite ) ni empuja más y más hacia la derecha (por lo tanto, no infinito positivo) … llamamos a esta situación, como se señala a continuación, una forma indeterminada, pero es posible ver exactamente de qué manera sale mal.