El último dígito de cualquier número natural es el resto que obtienes cuando divides ese número entre 10.
Entonces, para encontrar el último dígito de [math] n [/ math], tendrás que encontrar [math] n (\ text {mod} 10) [/ math].
En este caso, nuestro objetivo es encontrar [matemáticas] 2 ^ {1000} (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]. Como [math] 2 ^ {1000} [/ math] es un número enorme, podemos usar algunos trucos. El truco más útil es darse cuenta de que podemos elevar una congruencia a un poder natural.
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Entonces, [matemática] a \ equiv b (\ text {mod} c) \ implica a ^ k \ equiv b ^ k (\ text {mod} c) [/ math] donde [math] k [/ math] es a número natural.
Nuestro trabajo sería realmente fácil si pudiéramos encontrar [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] s ^ k \ equiv 1 (\ text {mod} 10) [/ matemática] Entonces podríamos elevarla al poder apropiado y multiplique algo si es necesario para obtener [matemáticas] 2 ^ {1000} [/ matemáticas]. Sin embargo, desafortunadamente no es posible, ya que cualquier cosa que sea [matemática] 1 (\ text {mod} 10) [/ matemática] es extraña, mientras que cualquier potencia de 2 es par.
echemos un vistazo a las primeras potencias de 2
[matemáticas] 2 ^ 1 \ equiv 2 (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 4 (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 3 \ equiv 8 \ equiv -2 (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 4 \ equiv 16 \ equiv 6 (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 5 \ equiv 32 \ equiv 2 (\ text {mod} 10) [/ matemáticas]
Este punto en adelante, comienzan a repetirse. Entonces, vemos que el último dígito se repite cada 4 potencias.
Ahora [matemáticas] 2 ^ {1000} = (2 ^ {5}) ^ {200} \ equiv 2 ^ {200} = (2 ^ 5) ^ {40} \ equiv 2 ^ {40} = (2 ^ 5 ) ^ {8} \ equiv 2 ^ 8 = (2 ^ 4) ^ 2 \ equiv 6 ^ 2 \ equiv 36 \ equiv 6 (\ text {mod} 10) [/ math]
Aquí usamos repetidamente la congruencia [matemática] 5ta [/ matemática]. También podríamos haber usado [matemáticas] 2 ^ {1000} = (2 ^ 4) ^ {25} \ equiv 6 ^ {25} (\ text {mod} 10) [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 ^ n \ equiv 6 (\ text {mod} 10) [/ math] para cualquier natural [math] n [/ math]
