Su pregunta está redactada de una manera ligeramente divertida, lo que me hace preguntarme si está haciendo la pregunta que quiere hacer.
La gente ha respondido que un subespacio no necesariamente tiene la misma dimensión (sin “s” final) que el espacio vectorial que lo contiene. Esa es quizás la forma más obvia de interpretar su pregunta, y hacen un buen trabajo explicando por qué ese no es el caso.
Pero tu uso de la frase “dimensión s ” con una “s” me pone un poco nervioso. Además de la interpretación anterior, es posible que esté haciendo alguna pregunta sobre la relación (si la hay) entre una base de un gran espacio, y una base del subespacio. (¿Por qué pensaría en bases cuando usaste la palabra dimensiones? Porque la dimensión es el número de vectores en una base).
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Hay una serie de preguntas que uno podría hacer en este contexto. Solo para introducir algo de terminología para la pregunta, supongamos que tiene un espacio vectorial V y un subespacio W, y una base B de V. Podría preguntarse, ¿una base de V es necesariamente también una base de W? Respuesta: no, a menos que V = W. Después de todo, solo hay un intervalo de cualquier conjunto de vectores, y el hecho de que B es una base de V significa (entre otras cosas) ese intervalo (B) = V.
De acuerdo, modificando ligeramente la pregunta, ¿un subconjunto de B es siempre una base de W? Respuesta: no. Podemos construir un contraejemplo fácil. Considere [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] con la base estándar (0,1) y (1,0). Ahora considere el subconjunto unidimensional W de vectores de la forma [math] (x, x) [/ math]. (Ejercicio para el lector: verifique que este sea un subespacio de buena fe, no solo un subconjunto aleatorio). Ni (0,1) ni (1,0) están siquiera en W , y mucho menos comprenden una base para W.
Otra modificación: ¿es un subconjunto de B a veces una base de W? Seguro. En el ejemplo [math] V = \ mathbb {R ^ 2} [/ math], sea W = span ((0,1)). O, más generalmente, tome el lapso de algún subconjunto de B … eso es necesariamente un subespacio W, creado explícitamente para garantizar que tenga una base que sea un subconjunto de B.
Otra modificación más: supongamos que tiene un espacio V y un subespacio W, y por el momento no le importa ninguna base particular de ninguno de los espacios. ¿Puedes elegir bases [matemáticas] B_W [/ matemáticas] y [matemáticas] B_V [/ matemáticas] de W y V respectivamente, de modo que [matemáticas] B_W \ subconjunto B_V [/ matemáticas]? Respuesta: sí.
¿Cómo? Esquemáticamente, elija cualquier base [matemática] B_W [/ matemática] de W. Luego elija un vector en V que esté fuera de W … llame al vector [matemática] v_1 [/ matemática]. Si ese lapso no es todo V, continúe: arroje [math] v_1 [/ math] con [math] B_W, [/ math] y elija otro vector [math] v_2 [/ math] fuera del lapso colectivo de [matemáticas] B_W [/ matemáticas] y [matemáticas] v_1 [/ matemáticas]. Si eso no es V, continúa … Eventualmente obtendrás todo V. (Esto es fácil cuando V es de dimensión finita. Para V de dimensión infinita, tienes que apelar al lema de Zorn, que no haré aquí. )
Eso es casi todas las formas en que puedo interpretar la pregunta. Pero si me perdí algo, ¡actualice la pregunta!
