Si por función de impulso discreto, quiere decir esta función:
[matemáticas] \ delta \ left [n \ right] = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & n = 0 \\ 0 & n \ not = 0 \ end {array} \ right. [/ math ]
Esta función tiene la transformación Z de 1:
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[matemáticas] \ matemáticas {Z} \ left \ {\ delta \ left [n \ right] \ right \} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {n = \ infty} \ delta \ left [n \ right ] z ^ {- n} = 1 \ veces z ^ {0} = 1 [/ math]
Si te refieres a la función de impulso de tiempo continuo:
[matemáticas] \ delta \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ infty & t = 0 \\ 0 & t \ not = 0 \ end {array} \ right. \ text {and} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ left (\ tau \ right) \ delta \ left (t – \ tau \ right) \ mathrm {d} \ tau = x \ left ( 0 \ right) \ mbox {para todos} x \ left (t \ right) \ text {.} [/ Math]
La versión muestreada de esta función,
[matemáticas] \ delta \ left (n T \ right) = \ left. \ delta \ left (t \ right) \ right | _ {t = nT} \ text {,} [/ math]
no tiene una transformación Z ya que no tiene límites.
La notación es confusa, lo sé, pero se ha convertido en el estándar en la literatura. El vínculo entre la función de impulso de tiempo continuo y la función de impulso discreto es que si muestra la función de impulso de tiempo continuo después de que haya pasado a través de un filtro de paso bajo, también conocido como filtro de suavizado, con la respuesta de frecuencia de
[matemáticas] H \ left (j \ omega \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {\ pi} {B} & \ left | \ omega \ right | <B \\ 0 & \ left | \ omega \ right | \ ge B \ end {array} \ right. \ text {, donde} \ omega \ text {se especifica en radianes / segundo,} [/ math]
obtienes la función de impulso de tiempo discreto. El factor [math] \ frac {\ pi} {B} [/ math] es necesario para normalizar la respuesta del filtro. La respuesta para la función de impulso de tiempo continuo se muestra a continuación.
La transformación de Fourier de la respuesta continua al impulso temporal es solo la unidad:
[matemáticas] \ matemáticas {F} \ left \ {\ delta \ left (t \ right) \ right \} = 1 \ text {.} [/ math]
El valor de la unidad es la razón por la cual la función de impulso de tiempo continuo es tan útil. La respuesta del filtro de paso bajo anterior a la función de impulso de tiempo continuo es entonces solo la transformada inversa de Fourier de su respuesta de frecuencia:
[matemáticas] y \ left (t \ right) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H \ left (j \ omega \ right) e ^ {j \ omega t} \ mathrm {d} \ omega = \ frac {\ sin \ left (B t \ right)} {B t} \ text {.} [/ math]
Puede comprobar que [matemáticas] y \ izquierda (n T \ derecha) = 1 [/ matemáticas] para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ izquierda (n T \ derecha) = 0 [/ matemática] para todos los demás enteros [matemática] n [/ matemática] si [matemática] B = \ pi / T [/ matemática] radianes / segundo (la mitad de la frecuencia de muestreo).
Los filtros anti-aliasing como el que se muestra arriba son estándar en los sistemas de procesamiento de señales digitales. Esto significa que si una función de impulso de tiempo continuo se alimenta a un sistema de procesamiento de señal digital estándar con filtros antisolapamiento, obtendrá una función de impulso de tiempo discreto. Es por eso que la notación y el nombre confusos han sido tolerados por tanto tiempo.
