¿Cómo se introduce la teoría de galois en 30 minutos?

La teoría de Galois es una teoría muy elegante, y su comprensión da un efecto que ningún otro sustituto recreativo puede proporcionar. Habiendo dicho eso, estoy tratando de encontrar una explicación más simple de la teoría. A Galois se le ocurrió una teoría cuando tenía 19 años, y será un gran logro si una persona interesada promedio de 19 años puede entender fácilmente esta teoría hoy sin profundizar en el agujero del conejo.

Confiaré en la Teoría de Galois para mostrar que una ecuación de grado tres (cúbica) se puede resolver mediante radicales, y luego agitar manualmente para el polinomio de quinto grado, por lo que tenemos una introducción moderadamente fácil a la teoría.

Recordemos que una ecuación de tercer grado es: [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Ahora, según Vieta, si [matemáticas] x_1, x_2, x_3, [/ matemáticas] son ​​las raíces de la ecuación anterior, entonces lo anterior se puede escribir como: [matemáticas] (x – x_1) (x – x_2) (x – x_3) = 0 [/ matemáticas]

Y más importante:

[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 = -a [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = b [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1.x_2.x_3 = -c [/ matemáticas]

Las ecuaciones anteriores se denominan funciones simétricas elementales , y debería poder anotar las funciones simétricas elementales de polinomios de grado superior de manera similar.

La teoría fundamental de las funciones simétricas dice que cualquier función simétrica puede escribirse en términos de funciones simétricas elementales . Por ejemplo, dado que [matemáticas] (x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + x_3 ^ 3) [/ matemáticas] es un polinomio simétrico, por cálculo bruto y reducción, podrá escribirlo en términos de [matemáticas] (a, b , c) [/ matemáticas]. El teorema básicamente garantiza ese hecho, incluso antes de comenzar a resolverlo con lápiz y papel. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto, es decir, las funciones compuestas de funciones simétricas elementales pueden no ser simétricas.

Si aún no ha descubierto qué es una función simétrica , es una función que produce el mismo valor para todas las permutaciones de sus variables. Entonces, si [math] S (x_1, x_2, x_3) [/ math] es una función simétrica, su valor será el mismo, independientemente de cómo permute sus variables, e, g [math] S (x_1, x_3, x_2) .[/matemáticas]

Ahora la cuestión de la solubilidad en radicales se reduce a una cuestión de extracción. Para los polinomios de tercer grado, estamos preguntando si las variables individuales se pueden expresar en términos de funciones simétricas elementales, es decir, ¿hay una [matemática] S_1 (a, b, c) = x_1 [/ matemática]. Recuerde que [math] S_1 [/ math] es una función de funciones simétricas elementales y [math] x_1 [/ math] es el valor de esa función.

Vamos a resolverlo para el cúbico: [math] (x_1, x_2, x_3) [/ math] tiene 6 permutaciones, [math] \ {(x_1, x_2, x_3), (x_3, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_1), (x_1, x_3, x_2), (x_2, x_1, x_3), (x_3, x_2, x_1) \} [/ math] . Sin estropear la diversión, digamos que todas estas permutaciones forman un grupo . [matemáticas] [/ matemáticas] Es importante tener 2 subgrupos cíclicos , [matemáticas] \ {(x_1, x_2, x_3), (x_3, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_1) \}, \; y \ {(x_1, x_3, x_2), (x_2, x_1, x_3), (x_3, x_2, x_1) \}. [/ math]

Ahora veamos las consecuencias mágicas de los divagaciones anteriores, tome una función [matemática] A, [/ matemática] tal que [matemática] A (x_1, x_2, x_3) = (x_1 + w.x_2 + w ^ 2.x_3) ^ 3, [/ math] donde [math] \ {1, w, w ^ 2 \} [/ math] [math] [/ math] son ​​las raíces cúbicas de la unidad.

Te darás cuenta de lo siguiente:

[matemáticas] A (x_1, x_2, x_3) = A (x_3, x_1, x_2) = A (x_2, x_3, x_1) = u \; [/ matemáticas] (asumir), y

[matemáticas] B (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_3, x_2) = A (x_2, x_1, x_3) = A (x_3, x_2, x_1) = v \; [/ math] (asumir) [ matemáticas]. [/ matemáticas]

También,

[matemáticas] B (x_1, x_3, x_2) = A (x_1, x_2, x_3). [/ matemáticas]

Entonces, algunas permutaciones preservan el valor de [matemáticas] A \; [/ math] y [math] B \; [/ math], algunas permutaciones cambiarán sus valores.

Ahora puedo formar 2 funciones simétricas como esta:

[matemáticas] S_1 (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_2, x_3) + B (x_1, x_2, x_3) = u + v [/ matemáticas]

[matemáticas] y [/ matemáticas]

[matemáticas] S_2 (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_2, x_3) .B (x_1, x_2, x_3) = uv [/ matemáticas]

Dado que las 2 funciones anteriores son simétricas, será expresable en términos de funciones simétricas elementales, también conocidas como radicales . Dado que tenemos 2 ecuaciones relacionadas con 2 variables u, v, podremos extraer [matemáticas] u, v [/ matemáticas] en términos de radicales, es decir, [matemáticas] u = u (a, b, c), v = v (a, b, c) [/ matemáticas]. Una vez que tenemos eso, tenemos 3 ecuaciones, a saber:

[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 = -a [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 + w.x_2 + w ^ 2.x_3 = u (a, b, c) ^ {1/3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 + w.x_3 + w ^ 2.x_2 = v (a, b, c) ^ {1/3} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que las 3 ecuaciones lineales simultáneas ahora se expresan en términos de radicales , por lo tanto, las raíces o variables, [math] \ {x_1, x_2, x_3 \} [/ math] [math], [/ math] serán expresables en términos de radicales .

Ahora, a partir de lo anterior, es importante comprender qué papel desempeñan los grupos de permutación, y los subgrupos van a jugar en la capacidad de resolución de un grado superior, especialmente la ecuación de quinto grado. Para el 5º grado general, no tenemos subgrupos del grupo de permutación de 5 variables, que satisfacen el criterio de Galois para la extracción de variables individuales, por lo tanto, la quintic general es insoluble en radicales. Los tipos matemáticos lo dicen de esta manera, el grupo de Galois de un polinomio general de 5º grado es insoluble, por lo tanto, es imposible representar las raíces de un polinomio general de 5º grado usando radicales (en serio, esta única línea es la prueba ). Los casos especiales seguirán siendo solucionables. Por ejemplo, [matemáticas] (x ^ n – 1) = 0 \; [/ math] se puede resolver en radicales para todos los enteros [math] n [/ math].


Intentemos extender lo anterior a la ecuación general de 5º grado, tenemos la quintica:

[matemática] x ^ 5 + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemática].

Los polinomios simétricos elementales son:

[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum x_1.x_2 = b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum x_1.x_2.x_3 = -c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum x_1.x_2.x_3.x_4 = d [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1.x_2.x_3.x_4.x_5 = -e [/ matemáticas]

Necesitamos 5 ecuaciones lineales para resolver [matemáticas] \ {x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \} \; [/ matemáticas]. Ya tenemos el primero, que es el primer polinomio simétrico elemental , necesitamos las siguientes 4 ecuaciones que también se expresan en polinomios simétricos elementales ( radicales ). Para eso necesitamos cuatro funciones [matemáticas] A, B, C, D \; [/ math] tal que

[matemáticas] S_1 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = A + B + C + D = -y_1 [/ matemáticas]

[matemática] S_2 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = AB + AC + AD + BC + BD + CD = y_2 [/ matemática]

[matemáticas] S_3 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = BCD + ACD + ABD + ABC = -y_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] S_4 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = ABCD = y_4 [/ matemáticas]

Las funciones [matemáticas] S_1, S_2, S_3, S_4 \; [/ math] debe ser simétrico para que puedan ser representados por radicales, también [math] B, C, D \; [/ math] debería ser alguna permutación variable no cíclica de [math] A. [/ math] Entonces, básicamente, necesitamos una función [math] A [/ math] de 5 variables que asume un máximo de 4 valores bajo todas las permutaciones.

Para 5 variables tenemos [matemáticas] 5! = 5.4.3.2.1 = 120 [/ matemáticas] permutaciones. Entonces necesitamos una función [matemática] A, \; [/ math] de modo que 30 permutaciones producirán el mismo valor para [math] A. [/ matemáticas] Esto debería corresponder a un subgrupo cíclico del grupo de permutación de 5 variables. Pero sabemos que un subgrupo cíclico del grupo de permutación de 5 variables contiene solo 5 permutaciones, a saber, [matemáticas] \ {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5), (x_5, x_1, x_2, x_3, x_4), ( x_4, x_5, x_1, x_2, x_3), (x_3, x_4, x_5, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_4, x_5, x_1) \}. [/matemáticas]

En otras palabras, necesitamos 4 subgrupos de cardinalidad igual (30 aquí), de modo que todos los subgrupos también sean similares de alguna manera, de modo que podamos formar una función que produzca el mismo valor para todas las permutaciones en el subgrupo, otras permutaciones serán simplemente cambie los valores de [matemáticas] A \; [/ math] a cualquiera de [math] B, C, D, \; [/ math] y lo mismo ocurre con otros valores. Galois hace una caracterización recursiva y sofisticada aquí, la receta secreta que quiero simplificar y presentar algún día, para poder lograr mi objetivo declarado anteriormente. Aquí hay un ejemplo del modelo recursivo utilizado por Galois. Básicamente, las [matemáticas] \ {A, B, C, D \} [/ matemáticas] anteriores son simplemente las raíces de una ecuación de cuarto grado, suponiendo que la ecuación de abajo es solucionable y sabemos que es solucionable en términos de radicales, que a su vez, supuestamente se expresaron en los radicales de la ecuación quíntica original, bajo los supuestos:

[matemáticas] z ^ 4 + y_1 (a, b, c, d, e) .z ^ 3 + y_2 (a, b, c, d, e) .z ^ 2 + y_3 (a, b, c, d , e) .z + y_4 (a, b, c, d, e) = 0 [/ matemática]

El quid de la cuestión es demostrar que no tenemos una función [matemática] A \; [/ matemática], de modo que asuma 4 valores en todo el conjunto de permutaciones de 5 variables. Para una ecuación de 4º grado podemos encontrar una función, de modo que asuma solo 3 valores bajo todas las permutaciones, y haciendo lo mismo que antes, podemos resolver los polinomios de 4º grado en radicales. En este caso, [math] A (x_1, x_2, x_3, x_4) = ((x_1 + x_2) – (x_3 + x_4)) ^ 2 \; [/ math] dará 3 valores distintos bajo las permutaciones de 4 variables. A medida que reducimos el grado de las ecuaciones para encontrar la expresión radical de la función que mantiene constantes todas las permutaciones de un subgrupo (es decir, [matemáticas] A [/ matemáticas]), notamos que las funciones simétricas elementales o los radicales para Los polinomios de menor grado se convierten en una forma más compleja de los radicales originales. Galois captura esto maravillosamente con el concepto de extensiones de campo .

Pero para el quintic no podemos encontrar una función [math] A, [/ math] con las características requeridas, y por lo tanto no podemos resolver el quintic de la misma manera que resolvimos el cubic o biquadratic. Una mirada más profunda a las características del grupo de permutación en sí a través de la elegante teoría de Galois revelará que el grupo de permutación de 5 variables carece de las propiedades requeridas (tuercas y tornillos) para expresar las variables a través de radicales. Es decir, la radicalización de las variables es imposible. Por el contrario, si el grupo de Galois de una ecuación polinómica es solucionable , tenemos una forma mecánica de expresar las raíces en términos de radicales. Sin embargo, encontrar el grupo de Galois de una ecuación polinómica general no es trivial. Si el grupo de Galois de una ecuación polinómica es insoluble, básicamente dice que no tenemos suficientes funciones para formar radicales para reconstruir la variable o raíz.

Para una comprensión un poco más profunda de la teoría de Galois, consulte:

La respuesta de Jacob Minz a ¿Cuáles son las formas de entender la prueba de que no existe una fórmula para expresar las raíces de la ecuación quíntica general mediante radicales?

Muchas imposibilidades aparentemente no relacionadas (insolvencia de las construcciones quínticas o imposibles) se prueban utilizando la misma técnica. Consideremos la quintica. ¿Cómo se puede demostrar realmente que no existe una expresión de algoritmo en las raíces de un polinomio quíntico en términos de operaciones de campo y posiblemente expresiones radicales iteradas de sus coeficientes? Para hacerlo, necesitamos articular todo de alguna forma manipulable.

El conjunto de coeficientes de una quintica real define un campo, digamos K, el campo más pequeño que contiene Q y los coeficientes. Aquí, los elementos de K representan números que se pueden expresar como operaciones de campo complicadas realizadas en los coeficientes. Otro campo importante es el campo L = K (r_1, .., r_5) donde r_i son las raíces complejas del polinomio en cuestión. La idea de que existe un programa de este tipo da estructura al campo L en términos de K. A saber, que es ‘solucionable por radicales’; o más bien hay una torre de campos K a L, cada una de ellas una extensión radical de la anterior.

Para un ejemplo más simple, considere un polinomio cuadrático ax ^ 2 + bx + c. Aquí K = Q (a, b, c) y L = K (r_1, r_2). Tenemos que L es solucionable por radicales precisamente porque L = K (sqrt (b ^ 2 – 4ac)).

Ahora, en circunstancias bastante agradables, el grupo

G: = Aut (L / K) = {campo isom sigma: L -> L arreglando K puntiagudo}

describe completamente todos los campos intermedios entre K y L (este es el teorema principal en la teoría de Galois) y la motivación de Galois, permuta las raíces del polinomio original (esto es fácil de verificar directamente). Es uno de los teoremas de referencia que cuando L / K es solucionable por radicales, el grupo en cuestión (llamado el grupo de Galois) debe tener una estructura prescrita. Dependiendo de su familiaridad, decimos que G es solucionable. El resultado de la insolvabilidad proviene de señalar que S_5 no es solucionable como grupo y surge fácilmente como G para muchas quínticas.

Por lo tanto, la teoría de Galois le permite a uno asociar un grupo a una extensión de campos, lo que es bastante agradable, lo que, entre otras cosas, determina completamente los campos intermedios y es útil porque la información sobre la extensión se puede traducir a una estructura sobre el grupo.

Yo mismo no podría escribir una introducción mejor que la obra maestra del libro de texto de ese tema por Ian Stewart http://books.google.com.mx/books

En su Introducción histórica, presenta los problemas y desarrollos que llevan a los matemáticos a pensar en grupos de permutaciones, raíces de polinomios y números complejos. Todo eso de una manera muy atractiva.
Editar: enlace actualizado

More Interesting

¿Cómo se mejora un niño de 14 años en matemáticas?

¿Por qué la definición formal captura la noción de un límite en lugar de otras permutaciones de cuantificadores, épsilon y delta?

¿Cuál fue su experiencia como estudiar Matemáticas adicionales para niveles A en Singapur?

¿Puede haber un cuadrado perfecto que consta de 4 unos, 4 dos y 4 ceros?

¿Qué es una partición en matemáticas?

¿Por qué los matemáticos están fascinados por los números primos y cómo se puede compartir su fascinación con los no matemáticos?

¿Cuántos números de teléfono de 6 dígitos hay, de los cuales los primeros 3 dígitos no se usan en los últimos 3 dígitos?

¿Cómo explicaría el estudio del 'Análisis armónico' en las matemáticas actuales, de una manera que un niño inteligente de 12 años pudiera entender?

Cómo encontrar el valor de [math] \ ln 7 [/ math] sin usar tablas o calculadora

¿Es posible determinar la estabilidad de los sistemas no lineales en múltiples conjuntos de equilibrio?

¿Cuál es un ejemplo de un grupo no abeliano de orden 7?

¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto S donde cada conjunto múltiple finito de elementos de S es miembro de S?

¿Existe una prueba lógica y matemática formal de que el Corán es un milagro?

¿Cuándo podemos usar la regla de L'Hospital?

Si tengo que elegir entre [matemática] 20 [/ matemática] tipos de flores, [matemática] 10 [/ matemática] las flores no necesariamente son de diferentes tipos, ¿por qué la cantidad total de posibilidades no es [matemática] 20 ^ {10} [/matemáticas]?