* A2A *
Ni siquiera sabía cuál era la regla del osculador hasta que me hicieron esta pregunta. Una búsqueda rudimentaria en Internet lleva a varias páginas que muestran el método pero no explican cómo o por qué funciona. El método parece casi arbitrario. Sin embargo, en realidad podemos desglosarlo y darle cierta apariencia de teoría a este método de aspecto bastante arbitrario.
La idea esencial detrás del método del osculador parece ser, dado un número con dígitos [matemática] a_1a_2a_3 \ cdots a_n [/ matemática] donde [matemática] 0 \ leq a_i \ leq 9 [/ matemática], deseamos una regla para el divisor [ matemática] d [/ matemática] tal que, si [matemática] a_1a_2a_3 \ cdots a_ {n-1} – s \ times a_n = 0 \ mod d [/ matemática], entonces [matemática] a_1a_2a_3 \ cdots a_ {n} = 0 \ mod d [/ matemáticas]. Ahora, entonces la pregunta se convierte en cómo encontrar tales [matemáticas] s [/ matemáticas]?
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Deje [math] n = 10 a + b \ in \ mathbb {Z} _ {+} [/ math] tal que [math] a \ in \ mathbb {Z} _ {+}, 0 \ leq b \ leq 9 [/ math] sea algún número. Sea [math] d [/ math] un divisor positivo y, por simplicidad, sea [math] d = p [/ math] un número primo.
Ahora, si tenemos [math] r, s [/ math] tal que,
[matemáticas] 10 a + b – r (a – s \ veces b) = 0 \ mod p [/ matemáticas]… (1)
luego,
[matemáticas] a – s \ veces b = 0 \ mod p \ Flecha derecha 10 a + b = 0 \ mod p [/ matemáticas]
Entonces, intentemos ver qué tipo de ecuaciones obtenemos para [math] r, s [/ math] de (1),
[matemáticas] (10 – r) a + (1 + rs) b = 0 \ mod p [/ matemáticas]
Ahora, forzaremos adicionalmente lo siguiente,
[matemáticas] 10 – r = 0 \ mod p [/ matemáticas]… (2)
[matemáticas] rs + 1 = 0 \ mod p [/ matemáticas]… (3)
Si podemos encontrar [matemáticas] r, s [/ matemáticas] que satisfaga (2) y (3), entonces (1) está satisfecho y, por lo tanto, la implicación seguirá. Ahora, simplemente podemos dejar que [math] r = 10 – p [/ math] que satisfaga (2), por lo tanto, [math] s [/ math] puede ser,
[matemáticas] (10 – p) s + 1 = 10 s + 1 = 0 \ mod p [/ matemáticas]
Por lo tanto, necesitamos encontrar una [matemática] s [/ matemática] que satisfaga [matemática] 10s + 1 = 0 \ mod p [/ matemática]. Esta [matemática] s [/ matemática] es lo que parece llamarse como osculador negativo o lo que sea.
Ejemplo, si [math] p = 7 [/ math], entonces [math] s = 2 [/ math] satisface la condición, por lo que podemos verificar la divisibilidad por 7 de la siguiente manera:
Digamos n = 10969, entonces
1096 – 2 * 9 = 1078
107 – 2 * 8 = 91
9 – 2 * 1 = 7
Por lo tanto, dado que 7 es divisible por 7 implica 91 es divisible por 7 implica que 1078 es divisible por 7 implica que 10969 es divisible por 7.
