¿Por qué tomé un análisis complejo?

El análisis complejo es el análisis adecuado para gran parte de las matemáticas y la física. Las funciones que utiliza en estos campos se definen en los números complejos.

Históricamente, los vimos primero como funciones de números reales que tenían derivadas primera y segunda. Describieron el movimiento, y dado que el movimiento depende de la fuerza, y la fuerza es proporcional a la aceleración, se necesitaban segundas derivadas.

Pero estas funciones que surgen de las ecuaciones diferenciales tienen todas sus derivadas y pueden representarse como series de potencia. En el análisis real, se llaman funciones analíticas . Una función que puede ser representada por series de potencia se representa en un radio de convergencia. Si se representa como

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (xa) ^ n [/ matemáticas]

en un radio [matemático] r [/ matemático] de convergencia, eso significa que la suma es igual a la función en el intervalo [matemático] (ar, a + r) [/ matemático] y posiblemente en uno de los puntos finales de ese intervalo . Pero también es convergente para números complejos, incluido el círculo de radio [matemática] r [/ matemática] sobre [matemática] a. [/ Matemática] En el análisis complejo, estas funciones se denominan funciones holomórficas .

Por lo tanto, el entorno natural para el análisis es el análisis complejo. Encontrará aplicaciones de análisis complejo donde haya una ecuación diferencial ordinaria.

Hay algunos teoremas maravillosos con contenido geométrico que solo pueden describirse en análisis complejos. El teorema de mapeo de Riemann es mi favorito. Dice que hay un mapa biholomórfico entre dos regiones planas simplemente conectadas, es decir, una biyección conforme, una biyección que conserva los ángulos.

Imagen de Optimal Global Conformal Surface Parameterizatio

¿Por qué tomar análisis complejo? Esa es una pregunta muy pertinente que los estudiantes a menudo se hacen temprano en el curso.

Más allá de tomar el Análisis complejo simplemente para calmar la sed de un campo tan hermoso y único de Matemáticas, las aplicaciones del Análisis complejo están sorprendentemente extendidas. Por ejemplo, la ubicuidad de las funciones de análisis complejo en física e ingeniería revela la utilidad innegable del análisis complejo.

No me malinterpreten, es fácil ver una línea de análisis tan peculiar como una mera abstracción de la mente de matemáticos históricos y glorificados. Pero en realidad, no debería sorprendernos demasiado que los misterios y las complejidades de la naturaleza requieran un marco más amplio para el análisis. Piénsalo. Imagínese tratando de describir algo simple como la Mecánica Newtoniana con solo números positivos. O imagina que te digo que midas la longitud de una habitación, pero solo puedes usar números naturales. ¡Pensarías que estoy loco! La misma idea se aplica a los fenómenos naturales más complicados. Simplemente no puede describir ciertas cosas sin el marco de análisis complejo

La naturaleza es demasiado complicada para ser atada a dominios demasiado restrictivos. Eso es todo lo que realmente hay.

Hay muchas áreas de física y matemáticas donde el análisis complejo es importante. Muchos de ellos se mencionan en otras respuestas. Aquí hay algunos otros:

• Las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales que aparecen en física podrían escribirse en términos de integrales de contorno
• La teoría analítica de números trata sobre el uso de análisis complejos en la teoría numérica
• Muchos problemas de la física (bidimensional) son invariablemente conformes y podrían resolverse mediante análisis complejos. Un buen ejemplo sería el problema del límite de Dirichlet
• Existen muchas conexiones interesantes entre el análisis complejo y la probabilidad.
• Hay una parte de la física que se llama teoría de campo conforme. Utiliza muchos análisis complejos