La botella de Klein tiene un volumen cero, en el sentido de una medida tridimensional. Lo que sí tiene es un área, en el sentido de una medida bidimensional. Porque, sea cual sea su incrustación en cualquier espacio cartesiano [math] \ mathbf {R} ^ {n} [/ math] [math] n [/ math] -dimensional estándar, sigue siendo una variedad bidimensional. La botella de Klein tiene un volumen cero en el mismo sentido que un disco, o una línea, o (la superficie de) una esfera tiene un volumen cero: una dimensión es infinitamente delgada en cierto sentido, lo que hace que cualquier 3-medida sea cero.
En tres dimensiones, la botella de Klein no está incrustada suavemente (sin torceduras, intersecciones, etc.): la botella parece pasar a través de sí misma. Pero la botella se puede incrustar suavemente en cuatro dimensiones [1], en cuyo caso es realizable como un toro, pero de un tipo diferente del donut: es de cuatro dimensiones, no de tres dimensiones, y no se conecta correctamente. , pero de adentro hacia afuera. Uno puede visualizar la cuarta dimensión por un gradiente de color; en palabras de Gulilemin y Pollack, uno podría “permitir que la botella se sonroje a medida que pasa” [2].
Tenga en cuenta que cuando los matemáticos hablan de una botella de Klein, se refieren a la superficie de la botella y no a sus “entrañas”, al igual que hablar de una esfera en geometría se refiere a la superficie de la esfera y no al interior.
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[1] Teorema de inclusión de Whitney
[2] Topología diferencial, Guillemin y abadejo
