Sí, puedo, pero no en el espacio de una respuesta de Quora. Primero tenemos que explicar la idea de los conjuntos, luego los problemas como la Paradoja de Russell en la que puede entrar, luego cada uno de los axiomas de ZFC individualmente, luego cómo evita los problemas, luego las controversias constructivistas e intuicionistas, luego las diversas extensiones a ZFC, luego los otros métodos propuestos como fundamentos para las matemáticas. Tomaría un tiempo
Comencemos con las razones de los conjuntos. Queremos poder hablar sobre grupos de cosas. Los matemáticos griegos comenzaron el proceso hablando del lugar geométrico de un punto en un plano con alguna propiedad particular. Por ejemplo, el lugar geométrico de un punto a una distancia dada de un punto dado es un círculo. Entonces podríamos hablar sobre el conjunto de puntos en un lugar. Luego podemos hablar sobre todos los puntos en dos círculos (unión) y los puntos particulares donde dos círculos se cruzan (intersección), y podemos hacerlo con conjuntos de cualquier tipo.
Podríamos hablar sobre conjuntos de cosas matemáticas como números, o puntos y líneas, o estructuras matemáticas completas como geometrías. Podríamos hablar sobre conjuntos de cosas en el mundo material como automóviles, personas o átomos. Nos gusta tener nombres particulares para las cosas en matemáticas, por eso llamamos a nuestros grupos conjuntos, y llamamos a las cosas miembros de los conjuntos. Entonces podemos hablar sobre conjuntos de conjuntos, y podemos hablar sobre si un conjunto es un miembro de sí mismo, y podemos hablar sobre subconjuntos de conjuntos, es decir, de conjuntos que contienen algunos pero no todos los miembros de un conjunto particular.
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Ahora, obviamente, podemos hacer eso en general. Sin embargo, resulta que hay cosas de las que nos gustaría hablar que nos meterán en problemas. El más famoso es el conjunto de Russell, el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si no es miembro de sí mismo, lo es, lo que no funciona. Pero si es un miembro de sí mismo, entonces no lo es, lo cual es igual de malo.
Otro conjunto problemático es el conjunto de todos los conjuntos, conocido como el conjunto del universo. Podemos demostrar fácilmente que el conjunto de todos los subconjuntos de cualquier conjunto es más grande que el conjunto en sí. Eso significa que un conjunto de universos no puede contener todos sus propios subconjuntos, por lo que no puede ser un conjunto de universos.
Por lo tanto, cada forma de teoría de conjuntos tiene que tener reglas para prevenir tales problemas. Eso significa tener reglas sobre qué conjuntos pueden pertenecer a sí mismos y otras restricciones similares, y significa tener una manera de hablar sobre todos los conjuntos sin tener que hablar sobre todos los subconjuntos de un universo. Algunos intentos de hacer reglas no pudieron evitar los problemas. Algunos eran demasiado torpes para trabajar. ZFC resulta ser el conjunto de reglas más simple con el que la mayoría de los matemáticos se sienten cómodos. Comienza con el conjunto vacío, un conjunto sin miembros, y luego proporciona varias reglas para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes. También proporciona construcciones que son demasiado grandes para ser conjuntos, como el universo, y las llama clases. Las reglas para conjuntos no se aplican a las clases.
Hay muchas, muchas extensiones de ZFC, y muchas teorías establecidas que omiten alguna parte de ZFC, especialmente el Axioma de Elección o la Ley del Medio Excluido. Pero esos son temas para otro día.
¿Hará eso para comenzar?
