¿Puedes explicarme ZFC como si fuera un niño de 10 años?

Sí, puedo, pero no en el espacio de una respuesta de Quora. Primero tenemos que explicar la idea de los conjuntos, luego los problemas como la Paradoja de Russell en la que puede entrar, luego cada uno de los axiomas de ZFC individualmente, luego cómo evita los problemas, luego las controversias constructivistas e intuicionistas, luego las diversas extensiones a ZFC, luego los otros métodos propuestos como fundamentos para las matemáticas. Tomaría un tiempo

Comencemos con las razones de los conjuntos. Queremos poder hablar sobre grupos de cosas. Los matemáticos griegos comenzaron el proceso hablando del lugar geométrico de un punto en un plano con alguna propiedad particular. Por ejemplo, el lugar geométrico de un punto a una distancia dada de un punto dado es un círculo. Entonces podríamos hablar sobre el conjunto de puntos en un lugar. Luego podemos hablar sobre todos los puntos en dos círculos (unión) y los puntos particulares donde dos círculos se cruzan (intersección), y podemos hacerlo con conjuntos de cualquier tipo.

Podríamos hablar sobre conjuntos de cosas matemáticas como números, o puntos y líneas, o estructuras matemáticas completas como geometrías. Podríamos hablar sobre conjuntos de cosas en el mundo material como automóviles, personas o átomos. Nos gusta tener nombres particulares para las cosas en matemáticas, por eso llamamos a nuestros grupos conjuntos, y llamamos a las cosas miembros de los conjuntos. Entonces podemos hablar sobre conjuntos de conjuntos, y podemos hablar sobre si un conjunto es un miembro de sí mismo, y podemos hablar sobre subconjuntos de conjuntos, es decir, de conjuntos que contienen algunos pero no todos los miembros de un conjunto particular.

Ahora, obviamente, podemos hacer eso en general. Sin embargo, resulta que hay cosas de las que nos gustaría hablar que nos meterán en problemas. El más famoso es el conjunto de Russell, el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si no es miembro de sí mismo, lo es, lo que no funciona. Pero si es un miembro de sí mismo, entonces no lo es, lo cual es igual de malo.

Otro conjunto problemático es el conjunto de todos los conjuntos, conocido como el conjunto del universo. Podemos demostrar fácilmente que el conjunto de todos los subconjuntos de cualquier conjunto es más grande que el conjunto en sí. Eso significa que un conjunto de universos no puede contener todos sus propios subconjuntos, por lo que no puede ser un conjunto de universos.

Por lo tanto, cada forma de teoría de conjuntos tiene que tener reglas para prevenir tales problemas. Eso significa tener reglas sobre qué conjuntos pueden pertenecer a sí mismos y otras restricciones similares, y significa tener una manera de hablar sobre todos los conjuntos sin tener que hablar sobre todos los subconjuntos de un universo. Algunos intentos de hacer reglas no pudieron evitar los problemas. Algunos eran demasiado torpes para trabajar. ZFC resulta ser el conjunto de reglas más simple con el que la mayoría de los matemáticos se sienten cómodos. Comienza con el conjunto vacío, un conjunto sin miembros, y luego proporciona varias reglas para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes. También proporciona construcciones que son demasiado grandes para ser conjuntos, como el universo, y las llama clases. Las reglas para conjuntos no se aplican a las clases.

Hay muchas, muchas extensiones de ZFC, y muchas teorías establecidas que omiten alguna parte de ZFC, especialmente el Axioma de Elección o la Ley del Medio Excluido. Pero esos son temas para otro día.

¿Hará eso para comenzar?

Puedo intentarlo, aunque se simplificará enormemente.

Para hacer matemáticas, resulta que has asumido algunas cosas básicas. Por lo general, es algo muy básico que da por sentado como 1 + 0 = 1. Hace 150 años, realmente querían descubrir todas las suposiciones que se necesitaban para hacer todas las matemáticas basadas en esas suposiciones. Supusieron que todas las matemáticas podrían dividirse en declaraciones sobre colecciones de cosas, a las que llaman “conjuntos”. Como si tuvieras una colección de videojuegos, ese es un “conjunto” de videojuegos. Si quieres hacer una suma en matemáticas, puedes pensar en obtener más videojuegos para tu colección.

De todos modos, querían averiguar qué suposiciones tenían que hacer sobre conjuntos de cosas para poder hacer todas las matemáticas basadas en eso. Un tipo llamado Zermelo hizo un muy buen intento, e hizo algunos muy buenos. Una vez más, estos son supuestos básicos, como decir que mi colección de videojuegos es la misma que su colección de videojuegos si ambos tenemos los mismos juegos. Z en ZFC significa Zermelo. Pero no lo hizo bien, y tomó otro tipo llamado Frankel para arreglarlo. Frankel es el F en ZFC.

A partir de ahí, parecía bastante bueno, como si hubieran descubierto todo lo que necesita para hacer todos los cálculos. Bueno, en su mayoría tenían razón, y puedes hacer la mayoría de las cosas solo con los supuestos de Zermelo-Frankel, pero dejaron solo una cosa no tan básica. Los matemáticos lo llaman el Axioma de Elección. Es una suposición extraña, pero piénsalo de esta manera. Si tiene un par de pares de zapatos, puede tomar el zapato izquierdo de cada par, ¿verdad? Un zapato izquierdo se ve diferente de un zapato derecho, por lo que es obvio que puede hacerlo. Pero si tienes un par de pares de calcetines, todos los calcetines tienen el mismo aspecto. El Axioma de Elección te permite asumir que hay alguna forma de elegir un “calcetín izquierdo” de cada par, aunque no puedas distinguir un calcetín izquierdo de un calcetín derecho. De todos modos, resulta que algunas áreas de las matemáticas necesitan este supuesto adicional, por lo que lo agregamos a la lista de supuestos. La C en ZFC significa Elección, como en Axioma de elección, así que esa es la teoría de conjuntos ZFC.

Casi todas las matemáticas conocidas se pueden hacer con estos supuestos sobre conjuntos de cosas. Digo casi porque todavía hay algunas cosas para las que necesitamos aún más suposiciones. Sin embargo, no hemos acordado qué agregar a la lista, por lo que la mayoría solo se queda con ZFC para hacer matemáticas, ya que generalmente es lo suficientemente bueno.

Un niño de 10 años no usaría ZFC. Aparte de quizás el Axioma de Elección, la mayoría de los matemáticos que trabajan tampoco lo parecen. Los libros de texto de matemáticas más avanzados que he visto mencionan ZFC solo de pasada. (¿Ha sido esta la experiencia de otros?)

Esto es más un comentario que una respuesta a su pregunta, pero en mi humilde opinión, realmente no necesita dominar todos los aspectos arcanos de los axiomas de ZFC para la mayoría de los cursos de matemáticas de pregrado. Además de AC, solo recuerde que un conjunto no existe solo porque puede definir una propiedad que es común a cada elemento (vea la Paradoja de Russell), pero puede definir un subconjunto de otro conjunto de esta manera, simplemente no consulte ese subconjunto en sus criterios de selección (consulte el axioma ZF de especificación o separación). AC establece que de cualquier colección de conjuntos no vacíos, podemos seleccionar formalmente (mediante una función de elección ) un elemento arbitrario de cada uno de esos conjuntos.

En la mayoría de los libros de texto de matemáticas de nivel universitario, el primer capítulo a menudo está dedicado a los aspectos difíciles de la teoría de conjuntos que pueda necesitar en los capítulos posteriores, pero incluso ellos parecen evitar cualquier discusión detallada de los axiomas de ZFC.

Sin embargo, estudiar ZFC sería esencial para quienes se especializan en teoría de conjuntos, lógica matemática o filosofía de las matemáticas.