Mi querido amigo.
∫ (tanx) ^ (1/3) dx =
Contrariamente a la apariencia, esta es una integral muy dura:
- ¿Por qué no podemos encontrar el símbolo correspondiente para la pregunta "¿Qué es 1 dividido por 0", si el número i fue desarrollado como respuesta a la pregunta que antes no tenía respuesta "¿Cuál es la raíz cuadrada de -1"?
- ¿De qué manera el álgebra universal y la teoría de categorías son similares?
- ¿Cómo puede un número ser normal en una base y no ser normal en todas las bases?
- Matemáticas y lógica: ¿Cuáles son las respuestas a las preguntas (ver detalles)?
- Cómo evaluar la integral a continuación dentro del límite de 0 a pi / 2
let (tanx) ^ (1/3) = t
tanx = t³
x = arctan (t³)
dx = {3t² / [(t³) ² + 1]} dt = [3t² / (t ^ 6 + 1)] dt
sustituto, produciendo:
∫ (tanx) ^ (1/3) dx = ∫ t [3t² / (t ^ 6 + 1)] dt =
∫ [3t³ / (t ^ 6 + 1)] dt =
reescribirlo como:
∫ {3t² / [(t²) ³ + 1]} t dt =
dejar t² = u
diferenciar ambos lados:
d (t²) = du
2t dt = du
t dt = (1/2) du
sustituyendo, tienes:
∫ {3t² / [(t²) ³ + 1]} t dt = ∫ [3u / (u³ + 1)] (1/2) du =
(1/2) ∫ [3u / (u³ + 1)] du =
factorizar el denominador como una suma de cubos:
(1/2) ∫ {3u / [(u + 1) (u² – u + 1)]} du =
descomponer el integrando en fracciones parciales:
3u / [(u + 1) (u² – u + 1)] = A / (u + 1) + (Bu + C) / (u² – u + 1)
3u / [(u + 1) (u² – u + 1)] = [A (u² – u + 1) + (Bu + C) (u + 1)] / [(u + 1) (u² – u + 1)]
3u = A (u² – u + 1) + (Bu + C) (u + 1)
3u = Au² – Au + A + Bu² + Bu + Cu + C
3u = (A + B) u² + (- A + B + C) u + (A + C)
El | A + B = 0
El | – A + B + C = 3
El | A + C = 0
El | B = – A
El | – A – A – A = 3
El | C = – A
El | B = – A
El | – 3A = 3 → A = – 1
El | C = – A
El | A = – 1
El | B = 1
El | C = 1
flexible:
3u / [(u + 1) (u² – u + 1)] = A / (u + 1) + (Bu + C) / (u² – u + 1) = – 1 / (u + 1) +
(u + 1) / (u² – u + 1)
así la integral se convierte (ver arriba):
(1/2) ∫ [3u / (u³ + 1)] du = (1/2) ∫ {[- 1 / (u + 1)] + [(u + 1) / (u² – u + 1)] } du =
dividirlo en:
(- 1/2) ∫ [1 / (u + 1)] du + (1/2) ∫ [(u + 1) / (u² – u + 1)] du =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/2) ∫ [(u + 1) / (u² – u + 1)] du =
en cuanto al integrando restante, siendo el denominador no factorizable, intente hacer de la parte superior la derivada de la parte inferior dividiendo y multiplicando por 2:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/2) (1/2) ∫ [2 (u + 1) / (u² – u + 1)] du =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ∫ [(2u + 2) / (u² – u + 1)] du =
para completar la resta derivada y sumar 1 como:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ∫ [(2u – 1 + 1 + 2) / (u² – u + 1)] du =
dividirlo en:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ∫ [(2u – 1) / (u² – u + 1)] du + (1/4) ∫ [3 / (u² – u + 1)] du =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ∫ d (u² – u + 1) / (u² – u + 1) + (3/4) ∫ du / (u² – u + 1) =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ du / (u² – u + 1) =
completa el cuadrado en el integrando restante dividiendo 1 en (1/4) + (3/4):
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ du / {[u² – u + (1/4)] + (3/4)} =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ du / {[u – (1/2)] ² + (3/4)} =
factorizar (3/4) para cambiar el fondo a la forma [f (x)] ² + 1:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ du / {(3/4) {(4/3) [u – (1/2)] ² + 1} =
incluir (4/3) en el cuadrado y reorganizar un poco el integrando en:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ (4/3) du / {{(2 / √3) [u – (1/2)]} ² + 1} =
expandir la base del cuadrado:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ (4/3) du / {[(2 / √3) u – (1 / √3)] ² + 1} =
divida el numerador en (2 / √3) (2 / √3) y extraiga (2 / √3), quedando con (2 / √3) du, que es lo mismo que d [(2 / √3) – (1 / √3)]:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) ∫ (2 / √3) (2 / √3) du / {[((/ / √3) u – (1 / √3 )] ² + 1} =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + (3/4) (2 / √3) ∫ (2 / √3) du / {[((2 / √3) u – (1 / √3 )] ² + 1} =
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) +
[(√3) / 2] ∫ d [(2 / √3) u – (1 / √3)] / {[(2 / √3) u – (1 / √3)] ² + 1} =
recordando que ∫ d [f (u)] / {[f (u)] ² + 1} = arctan [f (u)] + C, obtienes:
(- 1/2) ln | u + 1 | + (1/4) ln (u² – u + 1) + [(√3) / 2] arctan [(2 / √3) u – (1 / √3)] + C
recuerde que u = t², produciendo:
(- 1/2) ln (t² + 1) + (1/4) ln [(t²) ² – t² + 1] + [(√3) / 2] arctan [(2 / √3) t² – (1 / √3)] + C =
(- 1/2) ln (t² + 1) + (1/4) ln (t ^ 4 – t² + 1) + [(√3) / 2] arctan [(2 / √3) t² – (1 / √3)] + C
además, sustituya back (tanx) ^ (1/3) por t, obteniendo:
(- 1/2) ln {[(tanx) ^ (1/3)] ² + 1} + (1/4) ln {[(tanx) ^ (1/3)] ^ 4 – [(tanx) ^ (1/3)] ² + 1} +
[(√3) / 2] arctan {(2 / √3) [(tanx) ^ (1/3)] ² – (1 / √3)} + C =
terminando con:
∫ (tanx) ^ (1/3) dx = (- 1/2) ln [(tanx) ^ (2/3) + 1] + (1/4) ln [(tanx) ^ (4/3) – (tanx) ^ (2/3) +
1] + [(√3) / 2] arctan [(2 / √3) (tanx) ^ (2/3) – (1 / √3)] + C
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