En su forma más simple, el análisis matemático es el estudio de la teoría detrás del cálculo. En el cálculo, uno aprende a calcular cosas como derivados e integrales. En el análisis, uno aprende por qué estos cálculos son correctos, cómo demostrar que son correctos y cómo tomar definiciones manuales de cosas como la continuidad y ponerlas en una situación rigurosa (no, la definición de clase de cálculo de “si puede dibujar sin levantar el lápiz, entonces es continuo no es adecuado).
El tema luego va más allá de estos puntos, intentando responder preguntas como
“¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial realmente difícil?”
- ¿Cuál es el concepto de ortogonalidad?
- ¿Qué es una explicación intuitiva de una suspensión?
- ¿Cuáles son algunos hechos alucinantes sobre las matemáticas?
- ¿Qué tan inteligente debes ser para tomar matemáticas en Harvard?
- ¿Cuáles son algunas pruebas matemáticas interesantes que pueden entender los legos?
(básicamente la pregunta principal que se hace en el estudio de PDEs) o
“¿Cómo puedo descomponer una función en partes más simples y entender la función entendiendo las partes constituyentes?”
(que es al menos parcialmente respondida por el análisis de Fourier y otras técnicas).
En su conjunto, el análisis comprende un conjunto completo de métodos (PDE, análisis de Fourier, análisis complejo, análisis funcional, teoría espectral, análisis armónico, análisis microlocal, etc.) para comprender el funcionamiento de los sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales, muchos de los cuales son de suma importancia en las ciencias.
Sin embargo, como suele suceder en las matemáticas, estas sub-asignaturas individuales se vuelven interesantes por derecho propio para los matemáticos, y plantean otras preguntas interesantes más allá del “¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial realmente difícil?” Al ampliar nuestra comprensión de las sub-asignaturas, a veces es posible avanzar en la comprensión de los problemas iniciales que preguntamos.
