¿Cuál es un cálculo (o estimación) del número de combinaciones de 7,400,000,000 eligiendo 250 artículos?

Como dijo Patrick Lavin, este número es [math] \ frac {7400000000!} {250! 7399999750!} [/ Math]. No conozco una buena manera de obtener estos números exactamente, pero aquí sigue un intento de obtener una buena aproximación.

[matemáticas] n! = 1 * 2 * 3 *… * n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (n!) = ln (1 * 2 * 3 *… * n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (1) + \ ln (2) +… + \ ln (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (\ frac {3} {2} – \ frac {1} {2} \ right) \ ln (1) + \ left (\ frac {5} {2} – \ frac {3} {2} \ right) \ ln (2) +… + \ left (\ frac {2n + 1} {2} – \ frac {2n-1} {2} \ right) \ ln (n) [/ math]

Esta es la aproximación del punto medio a la integral

[matemáticas] \ int \ límites _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ frac {2n + 1} {2}} {\ ln (x)} [/ matemáticas]

Esta integral se puede calcular exactamente. La integral indefinida es [matemática] x \ ln (x) – x [/ matemática]. Por lo tanto, esta integral definida es:

[matemática] \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) – \ left (\ frac {2n + 1} {2 } \ right) – \ left (\ left (\ frac {1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {1} {2} \ right) – \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ left (\ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) – 1 \ right) – \ left ( \ frac {1} {2} \ right) \ left (\ ln \ left (\ frac {1} {2} \ right) – 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2e} \ right) – \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {1} {2e} \ right) [/ math]

Esto da:

[matemáticas] \ ln (7400000000!) \ aprox 160763119207.167 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (7399999750!) \ aprox 160763113525.981 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (250!) \ aproximadamente 1133.9730331818 [/ matemáticas]

(Sí, esto sufre de ser una pequeña diferencia entre dos números grandes. Una mejor idea podría haber sido aproximar [matemáticas] \ ln \ left (\ frac {7400000000!} {7399999750!} \ Right) [/ math] como integral, pero al final daría la misma fórmula, por lo que la única consecuencia es la necesidad de llevar a cabo los cálculos con muchos dígitos, lo que puede hacer una calculadora. Puede haber una manera conveniente de reorganizar la aproximación de [matemáticas] \ ln \ left (\ frac {7400000000!} {7399999750!} \ right) [/ math] para que no implique obtener pequeñas diferencias de números grandes).

y por lo tanto:

[matemática] \ ln \ izquierda (\ frac {7400000000!} {7399999750! 250!} \ derecha) \ aprox 160763119207.167 – 160763113525.981 – 1133.9730331818 \ aprox 4547.2134292206 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {7400000000!} {7399999750! 250!} \ aprox e ^ {4547.2134292206} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 10 ^ {4547.2134292206 \ log_ {10} {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ aproximadamente 10 ^ {1974.8297003469} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 10 ^ {0.8297003469} 10 ^ {1974} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ aprox. 6.7561665468 * 10 ^ {1974} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ aprox. 6.76 * 10 ^ {1974} [/ matemáticas]

La respuesta real (obtenida por WolframAlpha) es [matemática] 6.29 * 10 ^ {1974} [/ matemática], por lo que esta aproximación es aproximadamente [matemática] 7.5 \% [/ matemática] desactivada. Para acercarse aún más, se puede usar la aproximación de Stirling para el factorial, pero realmente no es necesario. Esta aproximación es aproximadamente equivalente a un poco más de 2 millones de habitantes en la población mundial, y eso es aproximadamente 10 días de crecimiento de la población.

El número que desea es [matemáticas] \ frac {7,400,000,000!} {250! * (7,400,000,000 – 250)!} [/ Math]. Primero, WolframAlpha nos dice que hay 493 dígitos en 250. No tengo una mejor manera de hacerlo a mano.

Hagamos una aproximación aproximada de los dígitos en [math] \ frac {7,400,000,000!} {7399999750!} [/ Math]. Para mi aproximación aproximada, llamemos a este número [matemáticas] 7,400,000,000 ^ {250} [/ matemáticas]. Como cada multiplicación agrega 10 dígitos (bueno, la primera pareja lo hace en Wolfram, no lo resolví). Podemos decir que este número tiene aproximadamente 10 * 250 = 2500 dígitos. Luego dividimos los 250! y tenemos alrededor de 2007 dígitos en nuestro número. Esa es mi suposición al menos.

¡Para comprobarlo dos veces, WolframAlpha realmente puede calcular esto! Parece que estaba un poco cerca. La respuesta real tiene 1975 dígitos.