Como dijo Patrick Lavin, este número es [math] \ frac {7400000000!} {250! 7399999750!} [/ Math]. No conozco una buena manera de obtener estos números exactamente, pero aquí sigue un intento de obtener una buena aproximación.
[matemáticas] n! = 1 * 2 * 3 *… * n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (n!) = ln (1 * 2 * 3 *… * n) [/ matemáticas]
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[matemáticas] = \ ln (1) + \ ln (2) +… + \ ln (n) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (\ frac {3} {2} – \ frac {1} {2} \ right) \ ln (1) + \ left (\ frac {5} {2} – \ frac {3} {2} \ right) \ ln (2) +… + \ left (\ frac {2n + 1} {2} – \ frac {2n-1} {2} \ right) \ ln (n) [/ math]
Esta es la aproximación del punto medio a la integral
[matemáticas] \ int \ límites _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ frac {2n + 1} {2}} {\ ln (x)} [/ matemáticas]
Esta integral se puede calcular exactamente. La integral indefinida es [matemática] x \ ln (x) – x [/ matemática]. Por lo tanto, esta integral definida es:
[matemática] \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) – \ left (\ frac {2n + 1} {2 } \ right) – \ left (\ left (\ frac {1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {1} {2} \ right) – \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ left (\ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) – 1 \ right) – \ left ( \ frac {1} {2} \ right) \ left (\ ln \ left (\ frac {1} {2} \ right) – 1 \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ frac {2n + 1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {2n + 1} {2e} \ right) – \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ ln \ left (\ frac {1} {2e} \ right) [/ math]
Esto da:
[matemáticas] \ ln (7400000000!) \ aprox 160763119207.167 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (7399999750!) \ aprox 160763113525.981 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (250!) \ aproximadamente 1133.9730331818 [/ matemáticas]
(Sí, esto sufre de ser una pequeña diferencia entre dos números grandes. Una mejor idea podría haber sido aproximar [matemáticas] \ ln \ left (\ frac {7400000000!} {7399999750!} \ Right) [/ math] como integral, pero al final daría la misma fórmula, por lo que la única consecuencia es la necesidad de llevar a cabo los cálculos con muchos dígitos, lo que puede hacer una calculadora. Puede haber una manera conveniente de reorganizar la aproximación de [matemáticas] \ ln \ left (\ frac {7400000000!} {7399999750!} \ right) [/ math] para que no implique obtener pequeñas diferencias de números grandes).
y por lo tanto:
[matemática] \ ln \ izquierda (\ frac {7400000000!} {7399999750! 250!} \ derecha) \ aprox 160763119207.167 – 160763113525.981 – 1133.9730331818 \ aprox 4547.2134292206 [/ matemática]
[matemáticas] \ frac {7400000000!} {7399999750! 250!} \ aprox e ^ {4547.2134292206} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 10 ^ {4547.2134292206 \ log_ {10} {e}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aproximadamente 10 ^ {1974.8297003469} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 10 ^ {0.8297003469} 10 ^ {1974} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox. 6.7561665468 * 10 ^ {1974} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox. 6.76 * 10 ^ {1974} [/ matemáticas]
La respuesta real (obtenida por WolframAlpha) es [matemática] 6.29 * 10 ^ {1974} [/ matemática], por lo que esta aproximación es aproximadamente [matemática] 7.5 \% [/ matemática] desactivada. Para acercarse aún más, se puede usar la aproximación de Stirling para el factorial, pero realmente no es necesario. Esta aproximación es aproximadamente equivalente a un poco más de 2 millones de habitantes en la población mundial, y eso es aproximadamente 10 días de crecimiento de la población.