¿Por qué es [math] 1 ^ \ infty [/ math] una forma indeterminada?

Como forma, es definitivamente indeterminado.

Primero, ¿qué es una forma indeterminada?

Cuando tiene un límite de una expresión compuesta, a menudo puede determinar cuál es ese límite si conoce los límites de los componentes de esa expresión. Por ejemplo, si tienes el límite

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemáticas]

y lo sabes

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = 5 \ mbox {y} \ lim_ {x \ to a} g (x) = 8 [/ math]

entonces puedes concluir que

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac58 [/ math]

Por lo tanto, [math] \ frac58 [/ math] es una forma determinada .

Pero, en cambio, si sabes eso

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = 0 \ mbox {y} \ lim_ {x \ to a} g (x) = 0 [/ math]

entonces no puede concluir nada sobre el límite original

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)}. [/ matemáticas]

Es por eso que [math] \ frac00 [/ math] se llama una forma indeterminada .

¿Qué pasa con esta forma particular? [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas]

Su pregunta es si [math] 1 ^ {\ infty} [/ math] es una forma indeterminada.

Supongamos que sabes eso

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = 1 \ mbox {y} \ lim_ {x \ to a} g (x) = \ infty [/ math]

puedes determinar el valor de

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \, (f (x)) ^ {g (x)}? [/ matemáticas]

Considere estos dos límites de esa forma

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} 1 ^ x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} (1 + 1 / x) ^ x = e [/ matemáticas]

Como no tienen el mismo valor, sabemos que [math] 1 ^ {\ infty} [/ math] es una forma indeterminada. De hecho, puede construir otros ejemplos de este formulario con límites que van desde 0 hasta infinito.

Las formas indeterminadas habituales

Las formas indeterminadas que surgen de la división, multiplicación, resta y exponenciación son

[matemáticas] \ qquad \ dfrac00 \ qquad \ dfrac \ infty \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0 \ cdot \ infty \ qquad \ infty- \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0 ^ 0 \ qquad1 ^ \ infty \ qquad \ infty ^ 0 [/ matemáticas]

La regla de L’Hôpital para evaluar algunas formas indeterminadas

Esto fue diseñado para ayudar a encontrar los valores de formas indeterminadas. Es directamente aplicable a las formas indeterminadas [matemáticas] \ frac00 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac \ infty \ infty. [/ Matemáticas] Si

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemáticas]

es de cualquiera de esas dos formas indeterminadas, entonces es igual a

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f ‘(x)} {g’ (x)} [/ matemáticas]

donde los primos indican derivados.

No es directamente aplicable a las otras formas indeterminadas, pero a menudo se pueden convertir en cocientes. Por ejemplo, desde

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle f (x) g (x) = \ frac {f (x)} {1 / g (x)} [/ matemáticas]

puede convertir la forma indeterminada [math] 0 \ cdot \ infty [/ math] en [math] \ frac00 [/ math] o [math] \ frac \ infty \ infty [/ math] y luego usar la regla de L’Hôpital .

Usando la identidad

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle (f (x)) ^ {g (x)} = e ^ {g (x) \ log f (x)} [/ math]

puede convertir las tres formas exponenciales indeterminadas [matemática] 0 ^ 0, [/ matemática] [matemática] 1 ^ \ infty, [/ matemática] y [matemática] \ infty ^ 0, [/ matemática] encuentre el límite del producto que está en el exponente usando la sugerencia del párrafo anterior, y luego exponga para encontrar el límite original.

No puedo creer lo absurdo que estoy leyendo en otras respuestas.

El infinito no es un número; así que no puedes tratarlo como un número y usarlo como un exponente como lo acabas de hacer. Lo que probablemente estaba tratando de preguntar era por qué [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {f (n)} ^ {g (n)} \ neq 1 [/ matemáticas], cuando [matemáticas] f (n ) = 1 [/ math] y [math] \ lim_ {n \ to \ infty} g (n) = \ infty [/ math]. Bueno, la respuesta es que es 1. Siempre que [math] f (n) [/ math] sea idénticamente 1, entonces no hay duda de que el resultado también es 1, cualquiera que sea el exponente o el que tiende a hacerlo.

La forma indeterminada surge solo cuando [math] f (n) [/ math] no es idénticamente 1, sino que solo tiende a 1: [math] f (n) \ neq 1 [/ math] y [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (n) = 1 [/ math]. Estas son dos situaciones completamente diferentes: la diferencia es que [matemática] f (n) [/ matemática] tiende a 1, nunca es realmente 1; solo se acerca arbitrariamente.

En este caso, tendrá dos “fuerzas” que intentan imponer su propio resultado: la base intenta empujar el resultado para que sea 1, y el exponente intenta empujar el resultado al infinito (o 0, si la base tiende a 1 de valores inferiores). Esto es, en esencia, lo que es una forma indeterminada: cuando tienes dos partes de tu expresión que intentan llevar el resultado a valores diferentes. Así que tienes una especie de carrera entre ellos, y no puedes saber quién gana hasta que encuentres otra forma de ver cuál de los dos está presionando el resultado con más fuerza (por ejemplo, usando la regla de l’Hopital, o cualquier otro método que exista) .)

[Permítanme decir desde el principio que todo lo que estoy a punto de decir es matemáticamente riguroso y lógicamente en línea con todas las definiciones estándar en Cálculo; es simplemente una mejor manera de expresar las cosas. Este es un proyecto mío mío, y puedes leer mis credenciales si te preocupan mis calificaciones para decir todo esto.]

Si decimos exactamente lo que queremos decir , [matemática] 1 ^ {+ \ infty} \ a 1 [/ matemática], de manera rigurosa: el número uno para cualquier poder realmente es solo 1. El problema es que debido a problemas de notación, cuando las personas escriben [matemáticas] 1 ^ {+ \ infty} [/ matemáticas], generalmente no significan 1 . Significan [matemáticas] 1 ^ {+} [/ matemáticas], o [matemáticas] 1 ^ {\ pm} [/ matemáticas], o algo por el estilo, y simplemente no se les ha proporcionado el lenguaje adecuado para decirlo . Estos [math] 1 ^ + [/ math] y [math] 1 ^ {\ pm} [/ math] son ​​objetos como [math] + \ infty [/ math] en el contexto del cálculo, que no es (como muchas personas parecen pensar) algo que no se puede entender o imaginar.

Lo primero es lo primero, una introducción a todos estos objetos está en el video a continuación (es el primero de lo que será una serie de videos … el resto está en producción). Así es como deberíamos hablar sobre las cosas en Cálculo para decir de manera clara y precisa lo que queremos decir, y se deshacen de la ambigüedad y la confusión que enfrentan los estudiantes de Cálculo. Debajo de ese video, hablaré un poco más sobre las formas indeterminadas, pero primero debes saber cuáles son los objetos.

Básicamente, tengo que obtener una vista previa de los próximos videos de la serie aquí, ya que aún no se han terminado. Básicamente, podemos ver qué funciones hacer estos objetos a través de gráficos, tal como lo hacemos con los números, si lo hiciéramos correctamente:

1. Trace el objeto de entrada en el eje x .
2. Empuje los puntos que ve, todos ellos, hasta el gráfico de la función (que cubrirá un conjunto de puntos en el gráfico, que se comprimirá de alguna manera a medida que se aprieta el valor de entrada)
3. Empuje esos puntos hacia el eje y para ver a cuál de nuestros modelos actúa el resultado.

No decimos “=” porque estos no son números; en su lugar, usamos “[math] \ to [/ math]”, cuyos detalles estarán en el segundo video, una vez que haya terminado. Algunos ejemplos relevantes para “poderes indeterminados” son:

• [matemáticas] \ exp (+ \ infty) \ a + \ infty [/ math]
• [matemáticas] \ exp (- \ infty) \ a 0 ^ + [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ ln (0 ^ +) \ a – \ infty [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ ln (+ \ infty) \ a + \ infty [/ math]
• [math] \ frac {1} {0 ^ {+}} \ to + \ infty [/ math] (la división por el número cero siempre será indefinida; ¡esto no cambia eso!)
• [matemáticas] \ frac {1} {+ \ infty} \ a 0 ^ {+} [/ matemáticas]

Tengo algunos videos Flash interactivos muy antiguos que puedes usar para ver cosas como esta en Animaciones, junto con instrucciones, si quieres ver esto con tus propios ojos.

En cuanto a la aritmética, hay una animación interactiva para eso anterior, y la historia corta es la siguiente: para sumar, restar, multiplicar o dividir dos números cercanos, aplica su operación a cada par de números, uno desde el primer número cercano , uno del segundo, y recopile esos resultados. A medida que las dos entradas de números cercanos se comprimen, el resultado se comprimirá de alguna manera (o no se aplicará, que es cuando tenemos indeterminación ). La indeterminación ocurre cuando nuestro resultado no se aprieta hacia un número ( converge ) o se empuja hacia [math] + \ infty [/ math], [math] – \ infty [/ math] o [math] \ pm \ infty [ / math]: la explicación completa de esto depende de la definición de [math] \ to [/ math], que será el tema del segundo video.

Algunos ejemplos:

• [matemáticas] + \ infty + (+ \ infty) \ a + \ infty [/ math] (así que esto diverge)
• [matemáticas] + \ infty – (+ \ infty) \ to (- \ infty, \ infty) ^ {\ cdot} [/ math] (¡así que esto es indeterminado! )
• [matemática] 0 \ veces (+ \ infty) \ a 0 [/ matemática] (entonces esto converge)
• [matemática] 0 ^ + \ times (+ \ infty) \ to (0, \ infty) ^ {\ cdot} [/ math] (¡así que esto es indeterminado! )
• [matemáticas] 0 ^ + \ veces (- \ infty) \ to (- \ infty, 0) ^ {\ cdot} [/ math] (¡así que esto es indeterminado! )

Ahora, esencialmente, todas las otras “formas indeterminadas” provienen de las tres que ves arriba, así que si entiendes esas, las entiendes todas. ¿Por qué?

• Todos los sabores de [math] \ frac {0 ^ {\ cdots}} {0 ^ {\ cdots}} [/ math] y [math] \ frac {+ \ infty} {+ \ infty} [/ math ] (complete los “[matemática] \ cdots [/ matemática]” como desee) se convierte en una especie de [matemática] 0 ^ {\ cdots} \ times \ pm \ infty [/ matemática] cuando invierte y multiplica.
• Todos los poderes indeterminados, usando [math] a ^ b = \ exp (b \ cdot \ ln a) [/ math] simplemente se convierten en una de las formas indeterminadas anteriores en el exponente: simplemente expones el resultado. Compruébelos todos si lo desea: la forma de comprender los poderes indeterminados es usar registros y exponenciales para ver que solo son formas aritméticas indeterminadas ocultas.

Espero que el segundo video de la serie salga en una o dos semanas desde el momento de mi escritura (este es el receso de primavera de mis hijos, por lo que la productividad estará en pausa durante una semana), y espero descansar el resto de los videos realizados a fines del verano a más tardar, consulte el blog Near-Numbers para ver los anuncios o suscríbase al canal de YouTube para recibir una notificación cuando se conecten en línea.

Hay una gran comunidad de usuarios de Quora que siguen afirmando lo contrario, pero
El infinito no es un número.

En cálculo, escribimos [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = \ infty [/ math] como una abreviatura de la condición

Por cada [matemática] n> 0 [/ matemática] podemos encontrar una [matemática] x_0 [/ matemática] tal que [matemática] f (x)> n [/ matemática] siempre que [matemática] x> x_0 [/ matemática]

– es decir, el valor de [math] f (x) [/ math] puede volverse arbitrariamente grande si elegimos valores suficientemente grandes de [math] x [/ math].

La expresión [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] es una forma indeterminada que es una forma de “expresión simbólica” que surge en el cálculo cuando intentamos evaluar los límites de las funciones, a menudo las de la forma [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) [/ math] donde [math] f (x) [/ math] es alguna expresión compuesta. Algunas veces uno puede encontrar tales límites encontrando los límites de los componentes de [math] f (x) [/ math] ya que [math] x [/ math] tiende al infinito pero en algunos casos esto no es posible. Un ejemplo es un límite [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {f_1 (x)} {f_2 (x)} [/ math] donde tenemos [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f_1 (x) = \ infty [/ math] y [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f_2 (x) = \ infty [/ math]. Una evaluación ingenua de los componentes nos da la forma indeterminada [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math]. Si el límite da lugar a una forma indeterminada, uno debe encontrar otras formas de encontrar el límite.

Un ejemplo donde aparece la forma indeterminada [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] está en

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow} (1 + \ frac {1} {x}) ^ x [/ matemáticas]

Esto da lugar a la forma indeterminada [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] como [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} 1 + \ frac {1} {x} = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ infty = \ infty [/ math]. El límite real es [matemática] e [/ matemática].

Sabemos que, no importa cuántas veces multiplique 1 por sí mismo, siempre dará.

es decir, [matemáticas] 1 ^ k = 1, k \ epsilon R [/ matemáticas]

No hay ambigüedad en los resultados, siempre y cuando te quedes con Reals.

Pero cuando vas al Infinito, produce algunos resultados interesantes.

Considere la siguiente expresión

[matemáticas] n ^ {1 / n}, n \ epsilon N [/ matemáticas]

Si está familiarizado con el análisis básico, puede mostrar que esta expresión siempre es mayor que 1, es decir

[matemáticas] n ^ {1 / n}> 1, n \ epsilon N [/ matemáticas]

Pero una cosa interesante es que el valor de esta expresión sigue disminuyendo.

Entonces, cuanto más avance en números naturales, el valor de la expresión va hacia 1, pero nunca 1. Esto es cierto para cualquier [matemática] n \ epsilon N [/ matemática]

Pero cuando consideramos

[matemáticas] n ^ {1 / n}, n \ rightarrow \ infty [/ matemáticas]

Se vuelve razonable asociar 1 a la expresión. La razón es que eso para cualquier verdadero no. mayor que 1, siempre puede encontrar un [math] k \ epsilon N, tal que [/ math]

[matemáticas] k ^ {1 / k}

Debido a esto, los matemáticos pensaron que era prudente tomar

[matemáticas] n ^ {1 / n} = 1, n \ rightarrow \ infty [/ math]

Pero esto significa

[matemáticas] n = 1 ^ n, n \ rightarrow \ infty [/ matemáticas]

Pero, esto parece una contradicción con nuestro pensamiento intuitivo de que no importa cuántas veces multiplique 1 por sí mismo, siempre dará 1 como resultado.

Esta contradicción es lo que hace

[matemáticas] 1 ^ n, n \ rightarrow \ infty [/ matemáticas]

INDETERMINADO

Cuando decimos que [math] 1 ^ \ infty [/ math] es una forma indeterminada, significa que el límite no está definido cuando el límite se toma en términos de ambas cantidades, es decir, [math] \ lim_ {x \ a 1, y \ to \ infty} x ^ y [/ math] (esta notación podría no ser la más rigurosa). Puede “acercarse” [math] (1, \ infty) [/ math] a lo largo de diferentes “caminos” en el plano xy, y el límite tomado a lo largo de diferentes caminos producirá diferentes límites.

Claro, es cierto que [matemáticas] \ lim_ {y \ to \ infty} 1 ^ y = 1 [/ matemáticas]. Eso corresponde a un “camino” a lo largo de la línea vertical x = 1, es decir, [matemática] x = 1, y = t [/ matemática] cuando t se acerca al infinito. Sin embargo, considere la ruta [matemáticas] x = K ^ {1 / t}, y = t [/ matemáticas] a medida que t se acerca al infinito, donde K es un número positivo arbitrario. Este camino también se acerca a [math] (1, \ infty) [/ math] cuando t se acerca al infinito. Sin embargo, [math] \ lim_ {t \ to \ infty} x ^ y = K [/ math] a lo largo de esta ruta. Eso significa que podemos elegir una ruta para hacer que el límite sea cualquier número positivo. Puede ver por qué [math] 1 ^ \ infty [/ math] se considera una forma indeterminada.

Antes de continuar con la respuesta a la pregunta, me gustaría decir que la mayoría de los libros sobre límites colocan las formas indeterminadas de una manera ” incorrecta ” (al menos los libros elementales sobre límites). Lo digo porque hay algo oculto en esas formas.

Las siete formas indeterminadas sobre las que probablemente haya leído son:
[matemáticas] \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty}, \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0 [/ matemáticas].
Lo oculto : cuando escribes [matemática] \ frac {0} {0} [/ matemática] en realidad significa [matemática] \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0} [/ math], donde [math] \ flecha derecha 0 [/ math] significa tender o acercarse a cero . También me gustaría señalar que [math] \ rightarrow \ infty [/ math] y [math] \ infty [/ math] son ​​equivalentes (pero [math] \ rightarrow 0 [/ math] y [math] 0 [/ matemáticas] no son equivalentes en cuanto a notación).

Lo que todo esto significa es que si tiene que evaluar [matemáticas] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemáticas], donde [matemáticas] f (x) = g (x) = 0 [/ matemáticas], entonces su respuesta sería simplemente “la división no está definida ” (esto es diferente de ser indeterminado).
Sin embargo, si tiene que evaluar [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math], donde [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0 [/ math], entonces esa sería una forma indeterminada en cuyo caso se procederá a evaluar los límites. Me gustaría agregar que ser indeterminado es diferente de la existencia de límites. Otra cosa es que cuando el límite es [math] \ infty [/ math], también significa que el límite no existe.
Un error común que encontré que los maestros (de donde hice mis estudios) cometen es que aceptan: [matemáticas] \ infty [/ matemáticas] e indeterminado, como respuesta a una pregunta como [matemáticas] \ frac {5} {0 } [/ math] (incluso cuando el contexto no es límite). La respuesta correcta (y la única respuesta) es “la división por cero no está definida “.

Entonces, la respuesta a su pregunta depende de cómo perciba la notación. La pregunta aquí no es cuál es la correcta (para eso probablemente tendrá que estudiar la historia de la evolución de los límites, y es posible que aún no encuentre una respuesta o que la percepción exista en diferentes ‘comunidades’) . Con mi percepción, diría que la forma en el OP no es indeterminada y se evalúa a 1 (leí la notación como [matemáticas] \ left (\ text {exactamente} 1 \ right) ^ \ infty [/ math] en lugar de [matemáticas] \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty [/ math]).
Insisto en la importancia de comprender esta sutileza porque muchos de nosotros procederemos (apuesto) a evaluar (por algún método estándar / convencional) las preguntas del tipo:
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} [/ math]
(solo el límite de la mano derecha) cuando la respuesta debe ser clara a la vista (los corchetes “no reconocidos” representan la función de piso).

[matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] no tiene un significado real. Al igual que [math] 0 \ cdot \ infty [/ math] no tiene sentido principalmente porque [math] \ infty [/ math] no es un número real y no puede someterse a operaciones aritmáticas como los números reales.
Entonces, cuando estamos hablando de [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas], lo que queremos decir esencialmente es:
[matemáticas] \ lim_ {y \ a \ infty, x \ a 1} [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas]… .. (1) O
[matemática] \ lim_ {y \ a \ infty, x \ a 0} [/ matemática] [matemática] x \ cdot y [/ matemática]… .. (2)
El primero puede verse como una multiplicación repetida, [matemáticas] x \ cdot x \ cdot x \ cdot [/ matemáticas] … mientras que el segundo como una suma repetida [matemáticas] x + x + x + [/ matemáticas] …

En cada uno de los casos, podemos analizarlo de la siguiente manera: –
(2) Considere ϵ- una cantidad muy pequeña (~ [matemática] 10 ^ {- 100… ..00} [/ matemática]). Si sigo agregando un número finito de veces, no equivale a M * ϵ ~ ϵ para todos los M finitos, pero sin embargo es una función creciente. Entonces, cuando lo ha agregado infinito de veces (lo que significa que es tan grande que está más allá de la comprensión humana), ya no estamos seguros de si la cantidad agregada sigue siendo tan pequeña o, por lo que sabemos, converge a algún número finito o en el peor de los casos, golpes al infinito (se vuelve muy grande).

(1) Considere 1+ ϵ donde ϵ> 0. Si lo multiplico para sí mismo, no hará una diferencia significativa y permanecería cerca de 1, ya que ϵ es muy pequeño. Sin embargo, cuando hacemos la operación un infinito de veces (humanamente imposible) siendo una función creciente nuevamente, puede explotar a cualquier cantidad finita M> 1 o, por lo que sabemos, ir al infinito. Del mismo modo para 1- ϵ donde ϵ> 0, multiplicarlo por sí mismo prácticamente no tiene ningún efecto, pero al continuar, obtienes una secuencia decreciente. Cuando el proceso continúa sin finalización, puede converger a unos 0 [matemática] \ leq [/ matemática] M <1.

Nota: Si en lugar de (1) tuviéramos [math] \ lim_ {x \ to \ infty} [/ math] [math] 1 ^ x [/ math] esto sería 1 seguro, ya que aquí estamos considerando el función constante f (x) = 1 para todas las x. Entonces, en general, cuando nos referimos a lo indeterminado [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas], nos referimos a:
[matemáticas] \ lim_ {g (y) \ a \ infty, f (x) \ a 1} [/ matemáticas] [matemáticas] f (x) ^ {g (y)} [/ matemáticas] en lugar de la función constante 1.

* A2A

La pregunta depende mucho de la situación. ¿Cómo desea interpretar [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas]? Hay innumerables opciones:

1. [matemáticas] 1 [/ matemáticas] multiplicado por sí mismo infinitamente muchas veces: [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Llano y simple.
2. Literalmente cualquier otra cosa: ¯ \ _ (ツ) _ / ¯

Ese segundo caso es especial porque de alguna manera “pretendemos” que cierta función que estamos estudiando es equivalente a [math] 1 ^ {\ infty} [/ math]. Hay una formulación de la función (o límite de la misma) que hace que se vea de esta manera, y hay todo tipo de trucos de límite como la regla de L’Hopital para que parezca diferente. Por lo general, en una forma que se puede evaluar.

Considere los siguientes ejemplos.

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n ^ 2} \ right) ^ n = 1 [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n = e [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {\ ln n} \ right) ^ n = \ infty [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 – \ frac {1} {\ ln n} \ right) ^ n = 0, [/ math]

Todos los límites anteriores son de la forma [matemática] 1 ^ {\ infty} [/ matemática], pero todos se evalúan en diferentes números.

¿Cuál es la intuición detrás de estos resultados?

Imagine que hay una carrera entre la expresión que intenta ir a [math] 1 [/ math] y la expresión que intenta ir a [math] \ infty [/ math]. Si la expresión que va a [math] 1 [/ math] es en algún sentido más rápida, entonces el límite se evaluará a [math] 1 [/ math]. Si la expresión que va a [math] \ infty [/ math] es en algún sentido más rápida, entonces el límite se evaluará a [math] \ infty [/ math]. Si las dos expresiones se dirigen hacia sus valores respectivos esencialmente a la misma velocidad, entonces los dos efectos se cancelan entre sí y obtienes algo estrictamente entre [math] 1 [/ math] y [math] \ infty [/ math] . Ahora sabemos por qué [math] 1 ^ {\ infty} [/ math] es una forma indeterminada, porque dependiendo de las expresiones específicas involucradas, pueden evaluar en diferentes cantidades.

El límite es sobre el viaje, no el destino.

Fuente: Cortesía Respuesta de Mike Spivey aquí https://math.stackexchange.com/q …

Retrocedamos un paso, ¿de acuerdo? Las respuestas dadas hasta ahora hacen buenos puntos, pero se trata de una pregunta ligeramente diferente.

El símbolo [math] 1 ^ \ infty [/ math] no significa nada hasta que decidamos darle un significado, o decidamos mantenerlo indeterminado. No adquiere significado de forma automática solo porque parece algo que debería significar algo definido.

¿El símbolo de poder allí? Lo inventamos y le dimos significado para enteros como 2 ^ 6, y luego lo extendimos a poderes racionales y bases reales positivas, etc., pero toda esta actividad no fuerza ningún significado en el conjunto de garabatos que es [matemática] 1 ^ \ infty [/ math].

Podemos optar por dotar a este conjunto de garabatos de un significado que sería útil. Las otras respuestas dadas explican muy bien por qué no parece haber una buena manera de hacerlo, ya que las cosas que son casi 1 elevadas a poderes muy grandes pueden producir resultados muy pequeños o muy grandes.

Puede argumentar que la base aquí es solo 1, no algo cercano a 1, entonces, ¿por qué no deberíamos usar el valor 1 para el resultado? Eso está bien, podrías. También puede declarar que este valor es 17 para todos los que nos importan. ¿Sería útil? No del todo, ya que solo tendría que tener mucho cuidado cuando se trata de límites, y ese es uno de los principales casos de uso de la notación aritmética con infinitos. Decir que infinito más infinito es infinito no te meterá en problemas, pero esto sí podría.

Por lo tanto, preferimos soltarlo y dejarlo indeterminado. Es más conveniente y menos propenso a errores. Eso es todo lo que hay que hacer.

Así es como lo pensaría. Estas tomando el limite
[matemáticas] L = \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) ^ {g (x)} [/ matemáticas]
con
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) \ rightarrow1 [/ math] y [math] \ lim_ {x \ rightarrow 0} g (x) \ rightarrow \ infty [/ math]

El límite que estás considerando es igual (gracias a las maravillas de los logaritmos)
[matemáticas] \ ln L \! = \! \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ exp (g (x) \ ln f (x)) [/ math]
[matemáticas]. \ qquad \ equiv \ lim _ {x \ rightarrow 0} \ exp (g (x) h (x)) [/ math]

dónde
[matemáticas] h (x) = \ ln f (x) [/ matemáticas].

Como [math] \ ln 1 = 0 [/ math], [math] \ lim_ {x \ rightarrow 0} h (x) \ rightarrow 0 [/ math]
y por lo tanto, usando [math] h (x) [/ math] volvemos a una forma indefinida más estándar para evaluar (y luego exponer)
[matemáticas] \ ln L = \ lim _ {x \ rightarrow 0} g (x) h (x) [/ matemáticas]

Esto también le permite evaluar fácilmente el ejemplo de Jonathan Paulson
donde [matemáticas] g (x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] h (x) = \ ln (1 + 1 / x) [/ matemáticas].
Ahora puede usar la regla de l’Hopital o más simplemente usando la serie de Taylor para [matemáticas] h (x) = 1 / x – 1 / 2x ^ 2 + \ cdots [/ matemáticas]
encontramos
[matemáticas] \ ln L = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} x (1 / x – 1 / 2x ^ 2 + \ cdots) = 1 [/ matemáticas]
que cuando exponemos da
[matemáticas] L = e ^ 1 [/ matemáticas]

Antes de comenzar a explicar la intuición, revisemos algunos conceptos básicos:
1 multiplicado por cualquier número es ese número (1 x 2 = 2, 1 x 3 = 3, etc.)
Por lo tanto, no debería sorprender que 1 multiplicado por sí mismo sea 1 (1 x 1 = 1).
Ahora, [matemáticas] 1 ^ 2 [/ matemáticas] = 1 (= 1 x 1)
de manera similar, [matemáticas] 1 ^ 3 [/ matemáticas] = 1 (= 1 x [matemáticas] 1 ^ 2 [/ matemáticas])
y [matemáticas] 1 ^ 4 [/ matemáticas] = 1 (= 1 x [matemáticas] 1 ^ 3 [/ matemáticas]) y así sucesivamente.
lo que sugiere que [matemáticas] 1 ^ (cualquier número) [/ matemáticas] = 1 ..
implicando [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] = 1.
Esto es absolutamente correcto.
El problema surge cuando no sabemos con certeza si el número elevado a la potencia [math] {\ infty} [/ math] es exactamente 1 o no.

Revisemos un poco más:
Veamos qué obtenemos cuando el número no es 1 sino un poco mayor que 1, digamos, 1.1
[matemáticas] 1.1 ^ 2 [/ matemáticas] = 1.21 (> 1.1)
[matemáticas] 1.1 ^ 3 [/ matemáticas] = 1.331 (> [matemáticas] 1.1 ^ 2 [/ matemáticas])
[matemáticas] 1.1 ^ 4 [/ matemáticas] = 1.4641 (> [matemáticas] 1.1 ^ 3 [/ matemáticas]) ..
Notamos que a medida que aumenta la potencia, el número obtenido se aleja más del número original, pero hacia [math] {\ infty} [/ math].
Sin embargo, cuando el número es menor que 1, digamos 0.9:
[matemáticas] 0.9 ^ 2 [/ matemáticas] = 0.81 (<0.9)
[matemáticas] 0.9 ^ 3 [/ matemáticas] = 0.729 (<[matemáticas] 0.9 ^ 2 [/ matemáticas])
[matemáticas] 0.9 ^ 4 [/ matemáticas] = 0.6561 (<[matemáticas] 0.9 ^ 3 [/ matemáticas]) ..
Aquí, notamos que a medida que aumenta la potencia, el número obtenido también se aleja del número original, pero esta vez hacia 0 (cero).

Lo que observamos hasta ahora es:
[math] a ^ {\ infty} [/ math] puede ser 0 si a es incluso ligeramente menor que 1 (incluso 0.999999), puede ser 1 si a es exactamente 1, y puede ser [math] {\ infty} [/ math] si es incluso un poco más de 1 (incluso 1.000001).

Ahora, el término ” indeterminado ” significa que no está determinado de manera definitiva o precisa. Cuando sustituimos los límites, simplemente estamos haciendo una aproximación, no estamos seguros del valor exacto. En este caso, incluso un pequeño cambio delta puede diferir demasiado el valor, de 1 a [matemáticas] {\ infty} [/ matemáticas], no es confiable elegir al azar cualquiera de las soluciones, por lo tanto, [matemáticas] 1 ^ { \ infty} [/ math] es una de las formas indeterminadas.

Permítanme ilustrarlo con los siguientes ejemplos. En lugar de ver [math] 1 ^ ∞ [/ math], veamos a ^ b evolucionando a la forma [math] 1 ^ ∞ [/ math] y veamos los resultados.

Suponga que si me pide prestado $ 1 y promete pagarme un año más tarde a una tasa de interés del 100%, esperaría pagarme $ 2 el próximo año. Mientras tanto, seré codicioso y probaré suerte con un interés compuesto.

Con una (1) capitalización, será igual a un interés simple, es decir, $ 2 (es decir, $ 1 principio y $ 1 en intereses).

La formula es

Con dos (2) capitalización, será de $ 2.25. Entonces, si seguimos aumentando el valor de la capitalización (es decir, “x”), me estoy volviendo cada vez más rico, pero no indefinidamente. Pronto vemos que se acerca a 2.7182 … (es decir, el valor de “e”). A medida que aumentamos el valor de x en

comienza a parecerse a [matemáticas] 1 ^ ∞ [/ matemáticas]. Vea a continuación el gráfico dibujado en la hoja de cálculo para la misma fórmula.

Ahora viene la parte interesante. ¿Qué pasa si repetimos la tasa de interés del 200%?

y a medida que aumentamos el valor de x en esta expresión, también comenzará a verse como [math] 1 ^ ∞ [/ math]. Sin embargo, esta vez el valor se acercará a 7.388 … (es decir, [matemática] e ^ 2 [/ matemática]). Vea la ilustración en la hoja de cálculo a continuación:

Ahora comenzamos a ver que con este método podemos obtener cualquier número positivo como valor para la expresión [math] 1 ^ ∞ [/ math], por lo tanto, es indeterminado. Por supuesto, puede escribir otras expresiones que evolucionarán a la forma [math] 1 ^ ∞ [/ math].

Para entenderlo necesitas conocer los conceptos de límites

Lea también cómo el límite x tiende al infinito para [1] [matemáticas] (1 + a / x) ^ x = e ^ a [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] 1 ^ x [/ matemáticas]

x tiende al infinito

Cuando tomas el límite izquierdo y derecho de 1 obtienes un valor diferente

Límite derecho

Límite [matemáticas] x–> 00 (infinito) (1 + 1 / x) ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + 1 / x) ^ x es e [/ matemáticas] cuando x tiende al infinito

Límite [matemáticas] x–> 00 (infinito) (1 + 1 / x) ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + 1 / x) ^ x es e [/ matemáticas] cuando x tiende al infinito

Límite izquierdo

[matemáticas] Límite x–> 00 (infinito) (1-1 / x) ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] (1-1 / x) ^ x es 1 / e [/ matemáticas] cuando x tiende al infinito.

Ambos valores no son convergentes, por lo que el valor es indeterminado

Editado por Moksh Maheshwari

Notas al pie

[1] http: // $ https: //socratic.org/que …

Gracias por preguntar.
Es indeterminado.
En el caso de 1 ^ infinito, por un lado, tome f (x) = 1 y g (x) = 1 / x.
Entonces: lim f (x) ^ g (x) = lim 1 ^ (1 / x) = lim 1 = 1.
Por otro lado, si tomamos f (x) = 1 + xyg (x) = 1 / x, entonces:
lim f (x) ^ g (x) = lim (1 + x) ^ (1 / x) = e = 2.718281828459…> 1.
Aquí puede ver que el límite de la función compuesta no existe, en el sentido de que el límite depende de las funciones que elija. Por lo tanto, es indeterminado.

Absoluto 1 elevado al infinito es, de hecho, 1, pero tenga en cuenta que, en los límites, la cantidad NO es 1 sino que se acerca a 1. Mire un ejemplo a continuación:

[math] \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {{(1- \ frac {1} {{e} ^ {x}})} ^ {x}} [/ math] tiene la forma [math] {1} ^ {\ infty} [/ math].

Aquí [matemáticas] 1- \ frac {1} {{e} ^ {x}} [/ matemáticas] se acerca a 1 pero no es ABSOLUTO 1.

Por lo tanto, la forma anterior resulta ser indeterminada.

Porque estamos viendo un límite. Estamos preguntando qué se acerca una función exponencial, ya que el exponente se acerca al infinito, y la base se acerca a uno.

Considere [math] h_1 (x) = 0.9 ^ x [/ math] y [math] h_2 (x) = 1.1 ^ x [/ math]. En el primer caso, como x tiende hacia el infinito, el valor va a 0. En el segundo, el valor va hacia el infinito.

Pero no estamos mirando una base fija. Estamos viendo algo como [matemática] f (x) ^ g (x) [/ matemática] En otras palabras, alguna función elevada a otra función. Lo que la función se acerca, en todo caso, a medida que x se acerca al infinito depende de qué función “domine”.

Si la base es una función, puede aumentar o disminuir “lo suficientemente rápido” como para que pueda “estabilizar” el resultado a algún valor intermedio.

Primero, debes educarte sobre el término infinito con respecto a las Matemáticas.
“Infinito” en realidad se usa para definir dos cosas: un número muy grande que está más allá de la imaginación de la inteligencia humana y términos como bronceado 90 (grados) que se atribuyen principalmente como indefinidos.
El infinito no es un número definido en matemáticas.
Se le puede llamar una variable.
Por lo tanto, dicho número (por ejemplo) puede tener características diferentes que no se determinan.
Por lo tanto, incluso si un número universal como 1, que al elevar a la potencia de cualquier valor conocido da el mismo valor 1, se eleva al infinito de potencia, es indeterminado ya que no se conocen las propiedades del índice.