Tal vez estoy confundido por la notación que está utilizando, pero parece [math] (1,0) \ notin \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} [/ math]. ¿Entonces esa clase de equivalencia está vacía? Si [math] 0 \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} [/ math], que no lo es, entonces todos los puntos [math] (x, 0) [/ math] estarían relacionados con [math ] (1,0) [/ math] para [math] x \ in \ mathbb {Z} [/ math].
El punto [matemática] (1,1) [/ matemática] está relacionado con todos los puntos [matemática] (w, z) [/ matemática] tal que [matemática] w \ cdot 1 = z \ cdot 1 [/ matemática] desde la relación entre los puntos es [matemática] (r, s) \ sim (w, z) [/ matemática] si y solo si [matemática] ws = zr [/ matemática]. Esto implica que [math] w = z [/ math] y por lo tanto que [math] (1,1) \ sim (x, x) [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {N} \ setminus {0} [/ math] que implica que [math] (a, b) \ in [(1,1)] [/ math] debe tener la forma [math] (x, x) [/ math] donde [math ] x \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} [/ math]. Es imposible que [math] (1,1) [/ math] esté relacionado con cualquier punto con un número negativo o un cero como coordenada porque esos números no están contenidos en [math] \ mathbb {N} \ setminus \ { 0 \} [/ matemáticas].
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