Hay una manera cruel de resolver esto y una manera fácil de resolverlo. Deje [math] z = {(- i)} ^ {\ frac {1} {4}} [/ math]. Entonces nuestra tarea es resolver la ecuación [matemáticas] z ^ 4 = -i [/ matemáticas]. Como los números complejos están cerrados algebraicamente, [math] z [/ math] es un número complejo.
MANERA CRUEL:
Deje [math] z = a + bi [/ math]. Luego, según el teorema del binomio, [matemáticas] z ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3 (bi) + 6a ^ 2 {(bi)} ^ 2 + 4a {(bi)} ^ 3 + {(bi)} ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3 bi-6a ^ 2 b ^ 2-4a b ^ 3 i + b ^ 4 = (a ^ 4-6 a ^ 2 b ^ 2 + b ^ 4) + (4 a ^ 3 b – 4a b ^ 3) i = -i [/ matemáticas].
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Comparación de parte real:
[matemáticas] a ^ 4-6 a ^ 2 b ^ 2 + b ^ 4 = 0 [/ matemáticas]
Comparación de parte imaginaria:
[matemáticas] 4 a ^ 3 b – 4a b ^ 3 = -1 [/ matemáticas]
Resuelve simultáneamente para obtener el resultado. Las probabilidades pueden estar siempre a tu favor.
FORMA FÁCIL:
Recuerde que [matemáticas] -i = e ^ {i \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ right)} = e ^ {i \ left (- \ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi \ right)} = e ^ {i \ left (\ frac {\ pi (-1 + 4k)} {2} \ right)} [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] z ^ 4 = e ^ {i \ left (\ frac {\ pi (-1 + 4k)} {2} \ right)} [/ math]. Tomando la raíz [matemática] 4 [/ matemática] en ambos lados, [matemática] z = e ^ {i \ left (\ frac {\ pi (-1 + 4k)} {8} \ right)} [/ matemática ] Como [matemáticas] – \ pi <\ arg {z} \ leq \ pi [/ matemáticas], se deduce que [matemáticas] – \ pi <\ frac {\ pi (-1 + 4k)} {8} \ leq \ pi [/ math]. Resolviendo, [matemática] – \ frac {7} {4} <k \ leq \ frac {9} {4} [/ matemática] y como [matemática] k [/ matemática] es un número entero, [matemática] k = – 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, se pueden encontrar las cuatro soluciones para [math] z [/ math].
Elige tu veneno.
