Creo que quiere decir también que los elementos de la unión están conectados porque, de lo contrario, se aplica la respuesta trivial de Paul Young: si [matemática] X [/ matemática] es un conjunto abierto, entonces la unión de la familia de un elemento [matemática] \ {X \} [/ math] de conjuntos es el conjunto en sí. Un conjunto abierto conectado de la línea real siempre es un intervalo abierto y viceversa (aunque posiblemente con más o menos infinito como uno de los puntos finales), por lo que es posible que desee decir eso en su lugar. Disculpe mientras le doy más información de la que solicitó.
Cuando me enteré de este hecho, estábamos estudiando la idea del “componente conectado” en general. Defina una relación de equivalencia en los puntos de un conjunto [matemática] X [/ matemática] en un espacio topológico [matemática] T [/ matemática] diciendo que dos de ellos son equivalentes si hay un subconjunto conectado de [matemática] X [/ matemáticas] que contiene ambos. Esto no es tan difícil de probar es una relación de equivalencia. Un punto [math] x [/ math] es equivalente a sí mismo porque [math] \ {x \} [/ math] está conectado. Si [math] x [/ math] es equivalente a [math] y [/ math], entonces [math] y [/ math] también es equivalente a [math] x [/ math] debido al mismo subconjunto conectado que contiene ambos. Si [math] x [/ math] es equivalente a [math] y [/ math] y [math] y [/ math] es equivalente a [math] z [/ math], entonces hay subconjuntos conectados que contienen [math] \ {x, y \} [/ math] y [math] \ {y, z \} [/ math] respectivamente, y su unión es un conjunto conectado que contiene [math] x [/ math] y [math] z [/ matemáticas]. (La unión de dos conjuntos conectados con una intersección no vacía está conectada).
Las clases de equivalencia se denominan “componentes conectados” de [matemáticas] X [/ matemáticas] en [matemáticas] T [/ matemáticas]. El componente conectado que contiene un punto dado [math] x [/ math] está conectado porque es la unión de todos los subconjuntos conectados de [math] X [/ math] que contiene [math] x [/ math], y la unión de se conecta una familia de conjuntos conectados con un punto de intersección común.
- Si 2 = 6, 3 = 12, 4 = 20, 5 = 30 y 6 = 42, ¿a qué equivale 9, 56, 81, 72 o 90?
- ¿Qué quieren decir los científicos cuando dicen que las ecuaciones de Einstein se 'descomponen' en un agujero negro y al comienzo del Big Bang? ¿Cómo puede romperse una ecuación?
- ¿Cuáles serán las consecuencias de los siguientes números, 7/2 + 5 / 3-0.675 + 5 (25-16)?
- ¿Pueden los INFJ ser buenos en cálculos financieros y matemáticas? ¿Pueden entrenar su cerebro para hacerlo?
- ¿Qué es 1/2 + 1/2?
Un componente conectado de un conjunto abierto no está necesariamente abierto en general (en espacios topológicos), pero lo es si el espacio tiene una propiedad conocida como “conectado localmente”. Un espacio está conectado localmente si en cada conjunto abierto [matemática] U [/ matemática] que contiene un punto [matemático] x [/ matemático] hay un conjunto abierto [matemático] V [/ matemático] que contiene [matemático] x [/ matemático ] que es un subconjunto de [matemáticas] U [/ matemáticas]. La línea real está conectada localmente, porque en esta situación hay un intervalo abierto [matemática] (xe, x + e) [/ matemática] alrededor de [matemática] x [/ matemática] contenida en [matemática] U [/ matemática] que está conectado. Ahora aquí es por qué los componentes conectados de [math] U [/ math] tienen que estar abiertos en un espacio conectado localmente. Si [math] x [/ math] es un elemento de un conjunto abierto [math] U [/ math] entonces su componente conectado en [math] X [/ math] tiene que contener este subconjunto abierto y conectado [math] V [ /matemáticas]. Como esto es cierto para todos los elementos en un componente conectado, el componente conectado en sí está abierto.
Hasta ahora hemos demostrado que el conjunto abierto con el que comenzó es una unión disjunta de conjuntos abiertos conectados. Lo único que queda es demostrar que hay innumerables. La clave es que su espacio (la línea real) también es lo que se conoce como espacio separable. Un espacio es separable si contiene un subconjunto denso contable. Como en otra respuesta, los números racionales son un subconjunto denso contable de los números reales, por lo que son separables.
¿Por qué todo el espacio es lo suficientemente separable? Porque si tenemos una familia de conjuntos abiertos disjuntos en un espacio separable, la familia siempre es contable (y ya no tenemos que pensar en la conexión). Si [math] D [/ math] es un subconjunto denso contable de [math] T [/ math], entonces cada conjunto abierto contiene un elemento de [math] D [/ math]. Los elementos de [math] D [/ math] contenidos en cada conjunto abierto son disjuntos porque los conjuntos abiertos son disjuntos. Por lo tanto, los conjuntos abiertos están en correspondencia con algunos de los elementos de [math] D [/ math], lo que significa que la familia de conjuntos abiertos es contable. No necesitamos el axioma de elección aquí como se explica en otra respuesta, porque podemos enumerar los elementos de [math] D [/ math] y siempre tomar el primer elemento de [math] D [/ math] que es un miembro del conjunto abierto.
La conectividad local y la separabilidad son propiedades muy comunes de los espacios, por lo que aquí no hay mucho especial en la línea real.
