¿Cuál es el conjunto de todas las funciones?

Para su ejemplo de conjunto finito, es el conjunto de tripletes de 8 elementos (0,0,0) (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0, 0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) donde el primero es la imagen de a, el segundo es la imagen de b y el tercero es la imagen de c . Su pregunta es mucho más interesante cuando A es infinito.

Es porque esta pregunta no tiene respuesta en el dominio de conjuntos infinitos que tiene debates de fundamentos. El conjunto de “todas las funciones” desde los enteros hasta el conjunto {0,1} es el continuo, hasta detalles tontos, y precisamente porque no tenemos una caracterización de una función “arbitraria”, no definida por algún tipo de regla infinita, que necesitamos aclarar lo que significa la noción de continuo con un pensamiento cuidadoso. Es lo mismo que preguntar “cómo se ve un número real arbitrario”.

La forma más fácil de definir el “conjunto de funciones” de los enteros a {0,1} es considerar la construcción “L” de Godel. En este esquema, utiliza los ordinales para definir las funciones, iterando construcciones por predicados un número ordinal de veces. La idea aquí es que defina las condiciones en la función paso a paso. La intuición que Godel tenía era que los ordinales son arbitrariamente grandes, por lo que esto debería llenar todo el universo desde su columna vertebral: la columna vertebral son los ordinales.

La idea de L de Godel realmente no capta la intuición de la mayoría de la gente sobre cómo se ve un número real arbitrario, pero generalmente las personas dan razones diferentes a las que estoy a punto de decir. Aquí tengo mi propia intuición, lo cual se debe a que primero pienso en las computadoras como el objeto fundamental fundamental. Esta intuición probablemente es la misma que la de Paul Cohen, porque él no me pone de los nervios, y todos los que escriben sobre estas cosas sí.

La razón es que los ordinales siempre deben pensarse en un modelo explícito específico para la teoría de conjuntos, construido paso a paso utilizando el teorema de integridad de Godel para la lógica, y esto significa que el modelo es contable. Las construcciones de estilo Godel siempre producen innumerables números reales al iterar construcciones de predicados sobre los innumerables ordinales del modelo.

El resultado no es diferente de crear un lenguaje y hablar de “números reales con nombre” de manera precisa. Siempre hay innumerables números reales que se pueden nombrar, porque solo hay innumerables nombres, por lo que un real elegido al azar no va a obtener un nombre.

Esta idea motiva la construcción forzada de Cohen. Esta es la forma de extender modelos de teoría de conjuntos para que incluyan nombres para ciertos números reales sin nombre. Debido a que todos los conjuntos de un modelo son contables, todos los mapas son de la misma naturaleza que el mapa del conjunto contable (como los enteros) a 0,1, de modo que el continuo es siempre tan alto como sea necesario para ir filosóficamente.

Las ambigüedades en diferentes modelos de forzamiento, los teoremas intrínsecamente indecidibles en la teoría de conjuntos, son solo un reflejo de la ambigüedad de especificar una función arbitraria de un dominio infinitamente contable a otro dominio, ya sea infinitamente infinito o finita (no importa). La contabilidad de todos los modelos significa que esto, el incontable conjunto de subconjuntos de enteros de Cantor, es lo más filosóficamente importante que uno tiene que considerar.