¿Cuál es una prueba rigurosa de que [matemáticas] \ pi ^ e <25 [/ matemáticas]?

Creo que todas las respuestas están usando calculadora para exponenciación. Aquí hay una prueba, que no necesita calculadora.

A mano, puede verificar los siguientes dos a partir de los valores dados. Si no desea utilizar incluso los valores dados, los siguientes dos hechos son fáciles de mostrar utilizando su definición.

1. e <11/4
2. \ pi ^ 2 <10

Estos son los únicos dos hechos que necesito. Es suficiente probar lo siguiente:

10 ^ {11/8} <5 ^ 2

Esto es equivalente a:

10 ^ 11 <5 ^ 16

Esto es equivalente a:

2 ^ 11 <5 ^ 5

Esto se puede mostrar a mano. 2048 <3125. QED. No se necesita calculadora.

Comience observando que si [math] a, c \ geq 1 [/ math] y [math] b, d \ geq 0 [/ math] entonces

[matemáticas] (a + b) ^ {(c + d)} \ geq a ^ c [/ matemáticas]

Por lo tanto, si encontramos límites superiores [matemática] E [/ matemática] y [matemática] P [/ matemática] para [matemática] e [/ matemática] y [matemática] \ pi [/ matemática] tal que

[matemáticas] E ^ P <25 [/ matemáticas]

estaremos listos

Límite superior para [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]

Para [math] \ pi [/ math] podemos usar

[matemáticas] P = 22/7 [/ matemáticas]

que es el límite superior de Archimedian alcanzado al calcular el perímetro de un polígono de 96 lados.

Si nos gusta más cálculo y menos geometría, entonces podemos usar la fórmula de Machin, que

[matemáticas] \ frac {\ pi} {4} = 4 cot ^ {- 1} (5) – cot ^ {- 1} (239) [/ matemática]

junto con algunos términos en la expansión de la serie Taylor para cot ^ {- 1}

[matemáticas] cot ^ {- 1} (5)> 5 ^ {- 1} – \ frac {5 ^ {- 3}} 3 + \ frac {5 ^ {- 5}} 5 – \ frac {5 ^ { -7}} 7 + \ frac {5 ^ {- 9}} 9 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] cot ^ {- 1} (239) <239 ^ {- 1} - \ frac {239 ^ {- 3}} 3 + \ frac {239 ^ {- 5}} 5 - \ frac {239 ^ { -9}} 9 [/ matemáticas]

Límite superior para [matemáticas] e [/ matemáticas]

Para [math] e [/ math], es más fácil usar el cálculo nuevamente. Tome la aproximación de la serie Taylor a [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] para encontrar que

[matemáticas] e = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]

y entonces tomamos

[matemáticas] e = \ sum_ {n = 0} ^ 9 \ frac {1} {n!} + \ sum_ {n = 10} ^ \ infty \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] e = \ sum_ {n = 0} ^ 9 \ frac {1} {n!} + \ frac {1} {10 \ cdot 9 \ cdot 8} \ sum_ {n = 7} ^ \ infty \ frac {1} {n!} [/ Matemáticas]

entonces

[matemáticas] e <\ sum_ {n = 0} ^ 9 \ frac {1} {n!} + \ frac {1} {10 \ cdot 9 \ cdot 8} e ​​[/ math]

o

[matemáticas] e <\ frac {\ sum_ {n = 0} ^ 9 \ frac {1} {n!}} {1- \ frac {1} {10 \ cdot 9 \ cdot 8}} [/ math]

así que simplemente definimos

[matemáticas] E = \ frac {\ sum_ {n = 0} ^ 9 \ frac {1} {n!}} {1- \ frac {1} {10 \ cdot 9 \ cdot 8}} [/ math]

que podemos verificar fácilmente es suficiente para tener [matemáticas] E ^ P <25 [/ matemáticas]

No necesita una prueba rigurosa de que este sea el caso. Un simple caso de redondear las cifras hacia arriba, pero con una respuesta todavía <25 será suficiente.

Por ejemplo, use pi ~ 16/5 o 3.2 y e ~ 11/4 o 2.75

3.2 ^ 2.75 = 24.499 …

QED

Trunca ambas expansiones decimales, pero redondea el último dígito hacia arriba de cada una. Entonces lleva a cabo esa exponenciación. Si la expresión aún es menor que 25, entonces la expresión completa también debe serlo.

Usted esencialmente dio una prueba en su pregunta. Para hacerlo un poco más formal:

[matemáticas] \ pi [/ matemáticas] <3.141592654

e <2.718281829

Entonces [matemáticas] \ pi ^ e [/ matemáticas] <[matemáticas] 3.141592654 ^ {2.718281829} [/ matemáticas] = 22.4591577402… <25

De hecho, puede demostrarlo con muchos menos dígitos:

[matemáticas] 3.2 ^ {2.72} [/ matemáticas] = 23.659… <25

para demostrar: π ^ e <25

tomando base de registro (pi) ambos lados

e

prueba: log (pi) 25 = log (25) / log (pi)… .. (propiedad de log)

que resulta ser alrededor de 2.811 …

e <2.8111

por lo tanto demostrado

( esta prueba es básicamente la misma que la tuya, pero sabes que el registro hace que sea un poco más fácil calcular si tienes una calculadora científica ).

[matemáticas] \ pi ^ e <3.1416 ^ {2.8} <24.7 <25 [/ matemáticas]