Cuando escucho “Álgebra de Banach”, estoy pensando en “espacios de funciones” o “espacios de operadores”. Muchas álgebras de Banach están hechas de funciones u operadores en algún espacio.
Cuando escucho “no unital”, estoy pensando en “soporte compacto”. Una forma barata de prohibir el elemento de la unidad es exigir que los elementos tengan un soporte compacto en algún sentido; por ejemplo, considere el espacio de funciones continuas de valor real de una variable real. Este es un álgebra de Banach unital, y la unidad es la función constante 1 . Esta función no tiene soporte compacto, así que si consideramos el subalgebra de Banach [matemática] C_c (\ mathbb {R}) [/ math] de funciones continuas con soporte compacto, tenemos un álgebra prototípica no unital.
Cuando escucho “centro trivial”, estoy pensando “extremadamente no conmutativo”, es decir, “matrices” u otros tipos de operadores.
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Al poner todo esto en conjunto, parece natural considerar el espacio de matrices infinitas [math] \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} [/ math] con soporte compacto, es decir, matrices donde todo es [math] 0 [/ matemática] excepto por un número finito de entradas. El campo subyacente puede ser [math] \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math], no importa.
Esas matrices forman un álgebra. El producto de dos matrices con soporte compacto también es una matriz de este tipo, y la norma puede ser una norma sup simple, o [matemática] L_1 [/ matemática] o [matemática] L_2 [/ matemática], tampoco importa .
El centro de un álgebra matricial suele ser el conjunto de matrices escalares, pero la única matriz infinita escalar con soporte compacto es la matriz cero. Puede probar que, de hecho, cualquier matriz distinta de cero en nuestro álgebra no está en el centro calculando su conmutador con, digamos, una matriz elemental (todo es [matemática] 0 [/ matemática] excepto [matemática] 1 [/ matemática ] en un lugar).
Por lo tanto, creo que este es un ejemplo fácil, y puede construir variaciones de él utilizando diferentes álgebras de operadores que tienen centros “pequeños” al imponer algún tipo de condición de soporte compacto.
