¿Cuáles son los coeficientes de la serie de Fourier de las señales dadas y cómo puedo calcularlos?

Solo escribiré las ecuaciones para el primer ejemplo.

Al hacer tales problemas, lo primero que debe hacer es averiguar el período: es claramente 2, por ejemplo, la función entre -1 y 1 se repite. (Es útil encontrar la función de repetición de manera que tome la forma más fácil; en este caso, la forma más simple es una línea, definida por la función [math] y = x). [/ Math]

Las fórmulas para los coeficientes (un período va de [matemática] t_1 [/ matemática] a [matemática] t_2 [/ matemática], en este caso, -1 a 1, y [matemática] T = t_2 – t_1 [/ matemática] la duración de un período; en este caso, [matemáticas] T = 2 [/ matemáticas]):

[matemáticas] f (x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n \ cos \ left (\ frac {2 \ pi nx} {L} \ right) + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} b_n \ sin \ left (\ frac {2 \ pi nx} {L} \ right), [/ math]

[matemáticas] a_n = \ frac {2} {T} \ int_ {t_0} ^ {t_1} f (t) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi nx} {L} \ right) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] b_n = \ frac {2} {T} \ int_ {t_0} ^ {t_1} f (t) \ sin \ left (\ frac {2 \ pi nx} {L} \ right) \, dx [/ matemáticas]

Por lo general, puede escribir [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] como una función definida por partes (el segundo ejemplo, por ejemplo, tiene 3 (4) partes diferentes (dependiendo de cómo escriba las piezas), dos (tres) siendo constantes, los otros dos lineales. El truco a utilizar en este caso es la integración parcial, por ejemplo:

[matemáticas] a_n = \ frac {2} {2} \ int _ {- 1} ^ {1} \ underbrace {x} _ {f} \ cdot \ underbrace {\ cos \ left (\ frac {2 \ pi nx} {2} \ right)} _ {g ‘} \, dx = \ left [\ underbrace {x} _ {f} \ cdot \ underbrace {\ frac {\ sin \ left (\ pi nx \ right)} {\ pi n}} _ {g} \ right] _ {- 1} ^ {1} – \ int _ {- 1} ^ {1} \ underbrace {1} _ {f ‘} \ cdot \ underbrace {\ frac {\ sin \ left (\ pi nx \ right)} {\ pi n}} _ {g} \, dx = – \ frac {1} {\ pi n} \ left [\ frac {- \ cos \ left (\ pi nx \ right)} {\ pi n} \ right] _ {- 1} ^ {1} = \ frac {1} {\ pi ^ 2 n ^ 2} (-1 – (-1) = 0, [/ matemáticas]

Lo cual, después de mirar nuevamente la función, debería ser claramente el caso, ya que la función en la imagen es extraña, mientras que todos los cosenos son pares. (También tenga en cuenta que esto no ha cubierto (rigurosamente) el caso donde [math] n = 0 [/ math], pero en ese caso, simplemente integra la función de -1 a 1, lo que también da 0).

Los coeficientes [math] b_n [/ math] se pueden evaluar de la misma manera (usando integración parcial), y los otros ejercicios también se resuelven de manera similar. Espero que esto ayude sin dejar ningún trabajo restante.

Denotemos la primera señal por [math] x_ {1} (t) [/ math]. Está claro que es una señal extraña, es decir

[matemáticas] x (t) = – x (-t) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y para señales impares sabemos que [math] a_ {0} = a_ {n} = 0 [/ math], por lo que solo habrá términos sinusoidales, es decir, [math] b_ {n} [/ math].

Puede calcular [math] b_ {n} [/ math] de esta manera …

[matemáticas] b_ {n} = \ dfrac {2} {T} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {T} x_ {1} (t) \ sin (n \ omega t) \, dt \ tag * {} [/matemáticas]

así que aquí estará

[matemáticas] b_ {n} = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} t \ sin (n \ omega t) \, dt \ tag * {} [/ matemáticas]

Es una integración simple, puede hacerlo usted mismo, después de la integración, la serie se puede escribir como

[matemáticas] x_ {1} (t) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin (n \ omega t) \ tag * {} [/ matemáticas]


Para la segunda señal [matemáticas] x_ {2} (t) [/ matemáticas] el período es [matemáticas] T = 6 [/ matemáticas], [matemáticas] \ omega_ {0} = \ dfrac {2 \ pi} {6} = \ dfrac {\ pi} {3} [/ math]

El término DC [math] a_ {0} [/ math] se puede encontrar así.

[matemáticas] a_ {0} = \ dfrac {1} {T} \ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} x_ {2} (t) \, dt = \ dfrac {1} {6 } \ displaystyle \ int _ {- 2} ^ {4} x_ {2} (t) \, dt \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] a_ {0} = \ dfrac {1} {6} \ left [\ displaystyle \ int _ {- 2} ^ {- 1} (t + 2) \, dt + \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ { 1} \, dt + \ displaystyle \ int_ {1} ^ {2} (- t + 2) \, dt \ right] \ tag * {} [/ math]

dará, [matemáticas] a_ {0} = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Ahora, si resta este término DC de la señal, mostrará una simetría de media onda, es decir

[matemáticas] x_ {2} \ left (t- \ dfrac {T} {2} \ right) = – x_ {2} (t) \ tag * {} [/ math]

entonces contendrá términos de coseno, pero solo los armónicos impares del mismo. y aun así [math] b_ {n} = 0 [/ math], puede seguir el mismo procedimiento para calcular [math] a_ {n} [/ math] es decir

[matemáticas] a_ {n} = \ dfrac {2} {T} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {T} x_ {2} (t) \ cos (n \ omega t) \, dt \ tag * {} .[/matemáticas]


Siga el mismo procedimiento para el tercero también, no hay simetría en él, por lo que los tres coeficientes estarán presentes.