Si toma transformadas de Fourier dos veces de una función regular adecuada en la línea real, recupera la función original. La dualidad de Pontryagin es una generalización de este resultado a funciones de valor real definidas en grupos abelianos localmente compactos, G. Este es un grupo abeliano equipado con una topología que es localmente compacta y de tal manera que la operación del grupo es continua.
Una propiedad importante de estos grupos es que tienen una medida de Haar, que es la única medida en G que es invariante en transformación por G. Por ejemplo, bajo los reales con adición, la medida de Haar es Lebesgue.
Dado G, uno también define su grupo dual G ^, que son los homomorfismos de G en el círculo unitario complejo (caracteres). G ^ también es localmente compacto si G es. Entonces, la transformación de Fourier de una función f definida en G implica la integración wrt a la medida de Haar en G, y es una función de valor complejo en G ^. Para [matemáticas] \ chi \ en G ^ \ wedge [/ matemáticas], el dual a f es
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[matemáticas] \ hat {f} (\ chi) = \ int_G f (g) \ overline {\ chi (g)} d \ mu (g).
[/matemáticas]
Aquí, mu es la medida de Haar en G, y la línea es una conjugación compleja, un dispositivo de contabilidad.
La dualidad de Pontryagin significa que puede realizar esta operación dos veces y recuperar la función original.
