Creo que la pregunta significa preguntar lo siguiente: para determinar si una secuencia [matemática] a_1, a_2, a_3, \ ldots [/ math] converge a algún número [math] b [/ math], normalmente hacemos algo con todo secuencia. Pero supongamos, en cambio, que alguien nos entrega un montón de subsecuencias de la secuencia original, y promete muy sinceramente que cada una de esas subsecuencias converge al mismo número [math] b [/ math]. ¿Podemos concluir que la secuencia misma también converge a [math] b [/ math]?
Debe quedar claro que la garantía debe ser que todas las subsecuencias convergen al mismo número. Si simplemente se nos dice que cada uno de un montón de subsecuencias converge a algo , pero no se nos promete que esas cosas son todas iguales, entonces no podemos concluir que la secuencia original converja en absoluto. Después de todo, es suficiente que dos subsecuencias no estén de acuerdo en su límite para que la secuencia original no converja.
Okay. Por lo tanto, se nos entrega una lista de subsecuencias 100% garantizadas para converger a lo mismo, y tenemos el desafío de determinar si la información disponible es suficiente para forzar la convergencia de toda la secuencia original (a eso mismo). la misma cosa.)
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¿Qué podría salir mal?
Bueno, una cosa que seguramente podría salir mal es si hay una subsecuencia infinita que nunca ha sido tocada por la lista prometida. Imagine que [math] i_1 <i_2 <i_3 <\ ldots [/ math] es una matriz infinita de índices, y ninguno de ellos aparece en ninguna de las subsecuencias que se nos han entregado. Entonces, literalmente, no tenemos información sobre los valores [math] a_ {i_1}, a_ {i_2}, a_ {i_3} [/ math] y así sucesivamente: podríamos cambiarlos a [math] 23 [/ math] o [matemática] -17.29 [/ matemática] o para alternar entre [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 324 [/ matemática] y la lista prometida todavía se comportaría según lo prometido, cada una de sus subsecuencias aún convergen al mismo valor [matemáticas] b [/ matemáticas]. La secuencia [math] a_i [/ math] en sí, sin embargo, ahora ciertamente no converge a nada: tiene una subsecuencia infinita que se vuelve loca.
Así que ahora tenemos una condición necesaria : las subsecuencias en la lista prometida no pueden permitirse perder, entre ellas, infinitos números. Cada subsecuencia corresponde a una matriz infinita de números naturales (sus índices), y la unión de esas matrices debe contener todos los números naturales excepto, posiblemente, para muchas excepciones.
Veamos algunos ejemplos simples. Supongamos que nuestro amigo nos promete que [math] a_3, a_6, a_9, a_ {12}, \ ldots [/ math] converge, y también que [math] a_1, a_4, a_7, a_ {10}, \ ldots [/ math ] converge a lo mismo. Esas son las secuencias cuyos índices son los múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y los múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] más uno. ¿Es suficiente?
No, no es. Nos falta una lista infinita de índices: [matemática] 2,5,8,11 [/ matemática] y así sucesivamente, los múltiplos de [matemática] 3 [/ matemática] más dos. No se nos dice nada sobre [math] a_2, a_5, a_8, \ ldots [/ math], por lo que no podemos decir absolutamente si [math] a_i [/ math] en su conjunto converge.
O supongamos que se nos dice que una subsecuencia única converge: la subsecuencia [math] a_ {100}, a_ {101}, a_ {102}, \ ldots [/ math]. Sí, no tenemos información sobre los primeros números [matemáticos] 99 [/ matemáticos], pero eso es claramente irrelevante. Toda la secuencia converge con seguridad, no importa cuán loco se vuelva para los primeros elementos.
Entonces, tenemos una condición necesaria: no podemos perder infinitos índices. ¿Eso también es suficiente? ¿Es cierto que si faltan muchos números de la lista prometida, entonces toda la secuencia converge?
Hay algo que no hemos discutido hasta ahora. ¿Qué tan grande es la lista prometida? ¿Cuántas subsecuencias nos son entregadas?
La respuesta puede ser “finitamente muchos”, pero también puede ser “infinitamente muchos”. Puede esperar que si la lista prometida es infinita, eso es mejor que si es finita: ¡tenemos infinitas promesas! ¿Qué podría estar mal con eso?
Pues todo.
Si la lista prometida es finita, entonces nuestra condición necesaria también es suficiente. Podemos derivar la convergencia de toda la secuencia precisamente cuando la lista cubre todos los índices con finitas excepciones (o ninguna excepción).
Aquí es por qué: dado cualquier [matemáticas] \ epsilon> 0 [/ matemáticas], nuestro trabajo es encontrar un índice [matemáticas] N [/ matemáticas] más allá del cual [matemáticas] a_i [/ matemáticas] está dentro de [matemáticas] \ epsilon [/ math] del número objetivo [math] b [/ math], el límite común de las subsecuencias. Pero sabemos que para cada una de las subsecuencias prometidas hay un umbral tan adecuado [matemática] N_k [/ matemática], donde [matemática] k [/ matemática] indica qué subsecuencia estamos observando. Así que simplemente tomamos [math] N [/ math] para que sea más grande que todos esos finitamente muchos [math] N_k [/ math] ‘s y también más allá de cualquier índice que se pierda (solo hay finitely many), y estamos hecho. Esto funciona para cualquier [math] \ epsilon [/ math], y la secuencia converge.
¿Pero ves cuán importante era que solo hay finitamente muchas subsecuencias de las que preocuparse? Si hubiera habido infinitos de ellos, cada uno de ellos podría tardar más y más en acercarse a su destino final, y no podríamos haber concluido nada sobre la secuencia original.
Tratemos de construir un ejemplo. Primero, necesitamos encontrar una lista infinita de subsecuencias que, entre ellas, cubran todos los números naturales. Me gusta la siguiente lista de matrices de índice:
- [matemáticas] 1,3,5,7,9, \ ldots [/ matemáticas]
- [matemáticas] 2,6,10,14,18, \ ldots [/ matemáticas]
- [matemáticas] 4,12,20,28,36, \ ldots [/ matemáticas]
- [matemáticas] 8,24,40,56, \ ldots [/ matemáticas]
- … y así.
¿Ves el patrón? La primera matriz son los números impares, aquellos cuya representación binaria termina en 1. La segunda matriz tiene los números cuya representación binaria termina en 10. La tercera matriz tiene números que terminan en 100. Y así sucesivamente. En otras palabras, cada matriz comienza en el doble del punto de partida de la matriz anterior y tiene un salto doblemente largo. Todos son progresiones aritméticas.
Ahora, digamos que nuestro amigo nos dice que todas las subsecuencias que tienen esas matrices como índices convergen a [math] 0 [/ math]. ¿Podemos concluir que toda la secuencia converge a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]? Después de todo, cada número natural aparece tarde o temprano en una de las subsecuencias, ya que cada número natural tiene algún número de ceros en su representación binaria.
Pero no podemos concluir eso. Aquí hay un ejemplo muy simple: haga que la secuencia [math] a_i [/ math] sea [math] 1 [/ math] en el índice de apertura de cada una de esas subsecuencias, y [math] 0 [/ math] en cualquier otro lugar. Es decir, [matemática] a_ {2 ^ m} = 1 [/ matemática] para cualquier [matemática] m [/ matemática], mientras que [matemática] a_n = 0 [/ matemática] siempre que [matemática] n [/ matemática] no sea un poder de [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Comienza así:
[matemáticas] 1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0, \ ldots [/ matemáticas]
¿Todas las subsecuencias prometidas convergen a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]? Seguro. Cada uno de ellos simplemente va [matemáticas] 1,0,0,0, \ ldots [/ matemáticas], convergiendo trivialmente.
¿La secuencia en sí misma converge? Diablos no. Tiene toneladas de límites parciales que son [matemática] 0 [/ matemática], y muchos que son [matemática] 1 [/ matemática], y muchos que no son nada: una de las subsecuencias es [matemática] 1,0, 1,0,1,0, \ ldots [/ math].
En resumen:
- Si le dan un número finito de promesas, solo asegúrese de que no falten más de un número finito de índices.
- Si se le da un número infinito de promesas, no puede garantizar la convergencia incluso si no falta ningún índice. Tu prometedor amigo podría estar jugando contigo.
Por supuesto, una lista infinita de promesas podría funcionar: puede contener una lista más pequeña y finita que ya cubre todos los índices con muchas excepciones. Pero si se necesita toda la lista infinita para cubrir todos los índices, como el que acabamos de ver, entonces la convergencia garantizada de todas sus subsecuencias al mismo límite no dice literalmente nada sobre la convergencia de la secuencia como un todo. Bien puede converger, o puede fallar totalmente.
Cuidado con la atractiva promesa de infinitas subsecuencias.
