Deje que [math] p [/ math], [math] q [/ math] sean primos impares distintos , con [math] p <q [/ math].
Teorema.
- Si [math] p \ nmid (q-1) [/ math], entonces cada grupo de orden [math] pq [/ math] es cíclico .
- Si [math] p \ mid (q-1) [/ math], entonces un grupo de orden [math] pq [/ math] es cíclico o no abeliano . Además, siempre existen grupos que son cíclicos y grupos que no son abelianos.
Conclusión. Existen grupos de orden no matemáticos [matemática] pq [/ matemática], para todas las opciones de primos impares distintos [matemática] p [/ matemática], [matemática] q [/ matemática] con [matemática] p \ mid (q -1) [/ matemáticas].
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Boceto de prueba del teorema.
Sea [math] G [/ math] cualquier grupo de orden [math] pq [/ math]. Sea [math] P [/ math] y [math] Q [/ math] denotar un Sylow [math] p [/ math] -subgroup y un Sylow [math] q [/ math] -subgroup de [math] G [ /matemáticas]. Si [math] n_p [/ math] y [math] n_q [/ math] denotan el número de subgrupos Sylow [math] p [/ math] y Sylow [math] q [/ math] -subgroups, respectivamente, entonces por El tercer teorema de Sylow
[matemática] n_p \ mid pq [/ matemática], [matemática] n_p \ equiv 1 \ pmod {p} [/ matemática] y [matemática] n_q \ mid pq [/ matemática], [matemática] n_q \ equiv 1 \ pmod {q}, [/ matemáticas]
y [math] n_p = 1 [/ math] si y solo si [math] P [/ math] es normal en [math] G [/ math]. [matemática] ([/ matemática] Obviamente, [matemática] n_q = 1 [/ matemática] si y solo si [matemática] Q [/ matemática] es normal en [matemática] G [/ matemática]. [matemática]) [/ matemáticas]
Dado que los únicos divisores (positivos) de [math] pq [/ math] son [math] 1, p, q [/ math] y [math] pq [/ math] y [math] n_q [/ math] es de la forma [matemática] 1 + kq [/ matemática] con [matemática] k \ ge 0 [/ matemática], [matemática] \ gcd (n_q, q) = 1 [/ matemática]. Como [math] q> p [/ math], debemos tener [math] n_q = 1 [/ math]. Por lo tanto, [math] Q [/ math] es necesariamente un subgrupo normal de [math] G [/ math].
Caso [matemáticas] I [/ matemáticas] [matemáticas] (p \ nmid (q-1)) [/ matemáticas]
Como [math] n_p [/ math] es uno de [math] 1, p, q, pq [/ math], y tiene la forma [math] 1 + kp [/ math], [math] \ gcd (n_p , p) = 1. [/ math] Dado que [math] q [/ math] no tiene la forma [math] 1 + kp [/ math], [math] n_p = 1 [/ math]. Por lo tanto, [matemática] P [/ matemática] también es un subgrupo normal de [matemática] G [/ matemática]. [Matemática] [/ matemática]
Por lo tanto
[math] G \ cong P \ times Q \ cong {\ mathbb Z} _p \ times {\ mathbb Z} _q \ cong {\ mathbb Z} _ {pq} [/ math].
Por lo tanto, [math] G [/ math] debe ser cíclico en este caso.
Caso [matemática] II [/ matemática] [matemática] (p \ mid (q-1)) [/ matemática]
Supongamos que [math] P \: = \: [/ math] y [math] Q \: = \: [/ math]. Como [math] Q [/ math] es normal en [math] G [/ math], [math] aba ^ {- 1} \ en Q [/ math]; entonces
[math] aba ^ {- 1} = b ^ r [/ math] para algunos [math] r \ in \ {1, \ ldots, q-1 \} \ ldots (\ star) [/ math]
Como [math] | P | = p [/ math], [math] | Q | = q [/ math] y [math] P \ cap Q = \ {e \} [/ math], podemos escribir
[matemáticas] G = \ {a ^ ib ^ j: 1 \ le i \ le p, 1 \ le j \ le q, aba ^ {- 1} = b ^ r [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] r \ en \ big \ {1, \ ldots, q-1 \} \ big \} \ ldots (\ star \ star) [/ math]
Si [matemáticas] r = 1 [/ matemáticas] en la ecuación. [math] (\ star) [/ math], tenemos [math] ab = ba [/ math]. Entonces [math] G [/ math] es abelian , y tenemos el resultado del Caso [math] I [/ math] arriba.
Si [matemática] 1 <r <q [/ matemática] en la ecuación. [math] (\ star) [/ math], exponiendo sucesivamente obtenemos
[matemáticas] a ^ pba ^ {- p} = b ^ {r ^ p} [/ matemáticas],
o [matemáticas] b = b ^ {r ^ p} [/ matemáticas].
Por lo tanto, [math] r ^ p \ equiv 1 \ pmod {q} [/ math]. Cada solución de la congruencia de tal manera que [math] r \ ne 1 [/ math] da lugar al grupo [math] G [/ math] en la ecuación. [matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas].
Se puede demostrar que cualesquiera dos opciones de tales [matemáticas] r [/ matemáticas] conducen a grupos isomorfos no abelianos .
Conclusión. Existe exactamente un grupo abeliano de orden [math] pq [/ math] (y ese es el grupo cíclico ), y exactamente un grupo no abeliano de orden [math] pq [/ math], dado por eqn. [matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
