Para encontrar las raíces del polinomio [matemáticas] P (m) = m ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] + 4m ^ 3 + 9m ^ 2 + 10m + 6 [/ matemáticas],
considere eso
[matemática] P (m) = 0 \ Leftrightarrow (m + a) (m + b) (m + c) (m + d) = 0 [/ math], donde [matemática] a, b, c, d [ / math] son raíces de [math] P (m) [/ math].
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Hecho:
[matemática] P (m) = (m + a) (m + b) (m + c) (m + d) \ Leftrightarrow abcd = 6 [/ matemática].
Sabemos que [matemáticas] 6 = 3 \ cdot 2 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] abcd = 3 \ cdot 2 [/ matemáticas].
Claramente [matemática] P (2) \ gt 0 [/ matemática] y [matemática] P (3) \ gt 0 [/ matemática], por lo que debemos tener pares de conjugados complejos
[matemáticas] (ab) = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] (cd) = 2 [/ matemáticas].
Bueno, [matemáticas] (ab) = 3 = 1 + 2 = 1-2i ^ 2 = (1+ \ sqrt {2} i) (1- \ sqrt {2} i) [/ matemáticas],
y [matemáticas] (cd) = 2 = 1 + 1 = 1-i ^ 2 = (1 + i) (1-i) [/ matemáticas].
Por lo tanto, podemos escribir
[matemáticas] P (m) = (m + (1+ \ sqrt {2} i)) (m + (1- \ sqrt {2} i)) (m + (1 + i)) (m + (1-i)) [/matemáticas],
entonces nuestras raíces son [matemáticas] m \ in \ left \ lbrace-1 + \ sqrt {2} i, -1- \ sqrt {2} i, -1 + i, -1-i \ right \ rbrace [/ math ]
