La idea central en la cuadratura es evaluar la integral aproximadamente usando valores de función ponderados en ciertos puntos de intervalo de integración.
Una forma es dividir el intervalo de integración por igual y aproximar la función dentro de un subintervalo por un polinomio. Esto es lo que haces en las reglas de Trapezoidal y Simpson. En el primero, se supone que la función lineal y en la segunda la función cuadrática se aproximan a la función en el subintervalo. Entonces, en Trapezoidal, el intervalo se divide por 2 puntos y en Simpson, el intervalo se divide por 3 puntos. Si divide el intervalo entre n puntos, puede aproximar la función por un polinomio de n-1 grado.
Una forma útil de comparar diferentes métodos es verificar el polinomio de mayor grado en el que un método proporciona el resultado exacto para un número dado de divisiones de intervalo. El método trapezoidal proporciona resultados exactos para polinomios lineales y Simpson da resultados exactos polinomios opto-cuadráticos. Esto se debe a que eso es lo que usan para aproximar la función.
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Llamemos a este número el índice. Entonces, el esquema trapezoidal y el esquema de Simpson tienen un índice de 1 y 2 respectivamente. Por lo tanto, el índice es esencialmente el polinomio de mayor grado para el que se obtiene un resultado exacto cuando el intervalo se divide por n puntos.
Ahora podemos preguntar si hay alguna forma en que podamos dividir el intervalo con n puntos y obtener un índice mayor que n. La cuadratura guasiana hace esto pero usa intervalos desigualmente espaciados. La cuadratura guasiana da un índice de 2n-1 cuando el intervalo se divide por n puntos. Básicamente, esto significa que solo puedo usar n puntos para calcular exactamente la cuadratura bajo un polinomio de 2n-1 grados. Entonces, con solo 3 puntos que son 4 subintervalos, puedo evaluar la integral de cualquier polinomio de 5to grado exactamente.
Los puntos en los que la función necesita ser evaluada son las raíces del polinomio de Legendre cuando el intervalo de integración es (-1,1). Por lo general, la cuadratura de Gauss comienza con escalar el intervalo de (a, b) a (-1,1).
Debido al alto índice, el pensamiento es que este método tiene una convergencia más rápida.
