Si a / b-c + b / c-a + c / ab = 0 prueba que (a / bc) ^ 2 + (b / ca) ^ 2 + (c / ab) ^ 2 = 0?

Suponiendo que a, byc son números reales, [matemática] (\ frac {a} {b} -c) [/ matemática], [matemática] (\ frac {b} {c} -a) [/ matemática] , y [math] (\ frac {c} {a} -b) [/ math] debe ser todo [math] 0 [/ math], ya que no pueden ser negativos y si son positivos, serían mayores que [math] 0 [/matemáticas]. Comenzando con [math] (\ frac {a} {b} -c) = 0 [/ math], [math] c = \ frac {a} {b} [/ math], que se puede sustituir por [math] (\ frac {c} {a} -b) [/ math]. Esto da [math] \ frac {1} {b} -b = 0 [/ math], entonces [math] 1-b ^ 2 = 0 [/ math], y por lo tanto [math] b = \ pm1 [/ math ] Mirando casos, si [matemática] b = 1 [/ matemática], entonces [matemática] a = -1 [/ matemática] y [matemática] c = -1 [/ matemática] o [matemática] a = 1 [/ matemática ] y [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas] y si [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] o [matemáticas] a [/ matemáticas] tienen que ser iguales a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Dado que el cambio de las variables se puede hacer sin cambios en las ecuaciones, todas deben ser iguales a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o dos pueden ser [matemáticas] -1 [/ matemáticas] mientras que la tercera es [matemáticas] 1 [ /matemáticas]. De todos modos, sin esas condiciones, no se puede probar.