Cómo probar [matemáticas] \ sqrt [3] {4} – \ sqrt [3] {3} <\ sqrt [3] {3} – \ sqrt [3] {2} [/ matemáticas]

[ EDITAR: originalmente escribí ” La proposición es claramente falsa como está escrita, ya que LHS> 0 y RHS <0 “. La pregunta ha sido revisada para corregir este error.]

Una solución muy elegante es tener en cuenta que [math] f (x) = \ sqrt [3] x [/ math] es cóncava hacia abajo y, por lo tanto, ¡las diferencias sucesivas están disminuyendo!

Una prueba de este reclamo se encuentra en los comentarios a continuación.

Usé geometría en lugar de álgebra.

Examinando el gráfico:

Podemos ver que a medida que x se aproxima al infinito, la pendiente de la función disminuye. Esto se debe a que la segunda derivada, f ” (x) , es negativa cuando x> 1.

Desde la clase de geometría, representamos la pendiente como “subida sobre carrera”. Entonces, si la pendiente disminuye durante este intervalo, el “aumento por carrera” disminuye. Por lo tanto, la cantidad que la función “aumenta” es menor para la misma cantidad de “ejecución”. Más técnicamente, la cantidad en la que y aumenta es menor para el mismo cambio en x .

La proposición utiliza valores de x que están separados por 1 , por lo que sabemos que hay un cambio idéntico en x . Sin embargo, dado que 3 y 4 están más abajo en la línea numérica, la diferencia en sus “aumentos” es menor, por la misma cantidad de “corrida”, por las razones mencionadas anteriormente.

Suponga que [matemáticas] 3 ^ {1/3} – 2 ^ {1/3} = a [/ matemáticas] => [matemáticas] 3 ^ {1/3} = 2 ^ {1/3} + a [/ matemáticas ] Se deduce que [matemáticas] (2 ^ {1/3} + a) ^ 3 = 2 + 3 * a ^ 2 * 2 ^ {1/3} + 3 * a * 2 ^ {2/3} + a ^ 3 = 3 [/ matemática] y [matemática] 3 * a ^ 2 * 2 ^ {1/3} + 3 * a * 2 ^ {2/3} + a ^ 3 = 1 [/ matemática].

Ahora echemos un vistazo a [matemáticas] (3 ^ {1/3} + a) ^ 3 = 3 + 3 * a ^ 2 * 3 ^ {1/3} + 3 * a * 3 ^ {2/3} + a ^ 3. [/ math] Por supuesto, [math] 3 * a ^ 2 * 3 ^ {1/3} + 3 * a * 3 ^ {2/3} + a ^ 3> 3 * a ^ 2 * 2 ^ {1/3} + 3 * a * 2 ^ {2/3} + a ^ 3 = 1 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] (3 ^ {1/3} + a) ^ 3> 4 [/ matemáticas]

Eso significa [matemáticas] 4 ^ {1/3} <3 ^ {1/3} + a [/ matemáticas] => [matemáticas] 4 ^ {1/3} – 3 ^ {1/3} [matemáticas] 4 ^ {1/3} – 3 ^ {1/3} <3 ^ {1/3} - 2 ^ {1/3} [/ matemáticas].