Escribí una respuesta a una pregunta similar aquí. La respuesta de Michael Lamar a ¿Alguien sabe de otro método para obtener 0.5? sin usar la función gamma?
La respuesta corta es:
1) El factorial solo se define para enteros no negativos.
2) Si quieres extender la definición a reales positivos (por ejemplo), ¡debes decidir qué quieres, como 2.5! significar. Una vez que lo sepa, puede hacer que la extensión esté de acuerdo con lo que sea importante para usted.
3) La extensión más típica hace que el factorial sea consistente con la función gamma. Si toma esa extensión habitual, entonces [matemáticas] 2.5! = \ Gamma \ left (\ frac 7 2 \ right) = \ frac 5 2 \ cdot \ Gamma \ left (\ frac 5 2 \ right) = \ frac 5 2 \ cdot \ frac 3 2 \ cdot \ Gamma \ left (\ frac 3 2 \ right) [/ math] [math] = \ frac 5 2 \ cdot \ frac 3 2 \ cdot \ frac 1 2 \ cdot \ Gamma \ left (\ frac 1 2 \ right) = \ frac {15 \ sqrt \ pi} 8 [/ math].
4) Continuar con el patrón que se muestra aquí le permite concluir que [matemáticas] \ left (n- \ frac 1 2 \ right)! = \ Gamma \ left (n + \ frac 1 2 \ right) = \ frac {(2n)! \ sqrt \ pi} {4 ^ {n} n!} [/ math] para enteros no negativos, [math] n [/ math].
¡Acabo de descubrir que Google sabe qué (2.5)! medio. Ingrese 2.5! como una cadena de búsqueda para obtener la aproximación decimal de [math] \ frac {15 \ sqrt \ pi} 8 \ aprox 3.32335097045 [/ math].
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