La teoría de conjuntos en general trata con conjuntos de elementos y sus características, así como con las operaciones y relaciones de esos conjuntos.
La teoría de conjuntos (en aquellos días en una especie de visión ingenua porque se definía en un lenguaje natural en lugar de una forma formal y estricta) fue iniciada por Georg Cantor 1874 hasta 1897 y Richard Dedekind.
Como dijo Hilbert: Nadie nos expulsará del Paraíso que Cantor ha creado.
- ¿Cómo se construye el if usando la lógica?
- ¿Me puede sugerir algunos modelos sobre el teorema matemático del círculo?
- ¿Por qué el gobierno indio no ha reconocido el gran talento matemático del Dr. Vashisht Narayan Singh?
- ¿Dónde puede obtener modelos voxel en color 3D?
- ¿Cuál es la diferencia entre álgebra y análisis?
Cantor dijo: “Por un ‘conjunto’ nos referimos a cualquier resumen M de ciertos objetos bien definidos en nuestra intuición o nuestro pensamiento (que se llaman los ‘elementos’ de M) en un todo”.
Es un campo matemático bastante joven que evoluciona después de la llamada crisis fundamental de las matemáticas que está relacionada con la paradoja de Russell. La paradoja fue descubierta por Zermelo pero publicada primero por Russell. Dice (en la ingenua teoría de conjuntos) que cada colección definible es un conjunto. Por lo tanto, puede definir una colección con conjuntos, que no se contienen a sí mismos. Según la ingenua teoría de conjuntos, ha definido un conjunto que contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Esta es la paradoja.
El conjunto podría llamarse R:
[matemáticas] \ text {Let} R = \ {x \ mid x \ not \ in x \} \ text {, luego} R \ in R \ iff R \ not \ in R [/ math]
Una respuesta a eso fue un “conjunto” de axiomas para describir la teoría de conjuntos más formal. Esto fue presentado por Zermelo y Fraenkel y se llama ZFC (si incluye el axioma de elección)
Hay otras soluciones que resolverán esta paradoja, por ejemplo, la teoría de tipos o NFU.
Entonces, la teoría de conjuntos define qué es un conjunto y trata con conjuntos que contienen elementos o ningún elemento (el conjunto vacío).
Ahora puede definir relaciones entre diferentes conjuntos, por ejemplo, si los conjuntos son disjuntos o disjuntos o un subconjunto o si un conjunto contiene parcialmente otro conjunto. Con estas relaciones es fácil definir operaciones como las de aritmética o álgebra. Los axiomas de Zermelo y Fraenkel describirán esas relaciones entre conjuntos de una manera estricta y formal.
Por ejemplo: dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
[matemática] \ forall x \ forall y [\ forall z (z \ in x \ Leftrightarrow z \ in y) \ Rightarrow x = y]. [/ math]
Usando esta forma formal y estricta de definir conjuntos y sus relaciones, puede simplificar axiomas, leyes y pruebas en aritmética. Tiene una introducción fácil al álgebra abstracta y la lógica que utilizará ZFC …
Pero como dijo David, hay otras teorías establecidas que se utilizarán si simplifican aún más en otro campo de las matemáticas que el ZFC.
