Aquí hay otro enfoque:
Prerrequisitos:
Recordemos la definición de la transformación de Mellin:
- ¿Qué es la teoría de conjuntos?
- ¿Alguna versión conocida de FOL restringe la especificación universal a expresiones en variables libres introducidas anteriormente?
- ¿Qué recurso ha hecho que los escritores del concurso de matemáticas de la escuela secundaria tengan un mejor desempeño en los concursos de matemáticas?
- ¿Por qué son importantes los patrones palindrómicos en matemáticas?
- ¿Cuál es el truco matemático más fácil para fascinar a una audiencia?
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {f (x) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx [/ math ]
Luego sigue el resultado estándar:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {1 + x ^ n} \ right \} \ biggr {|} _ {s = 1} = \ left (\ dfrac {\ pi } {n} \ right) \ csc \ left (\ dfrac {\ pi} {n} \ right) \ tag * {(1)} [/ math]
(Puede probarse usando la fórmula de reflexión de Euler)
Usando la integral gaussiana, es fácil observar que:
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {\ sqrt {t}} = \ dfrac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- tx ^ 2 } \, dx \ tag * {(2)} [/ math]
Finalmente, recuerde este resultado de integración estándar que se puede mostrar fácilmente utilizando la integración por partes:
[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {- \ alpha t} \ sin \ beta t = – \ dfrac {e ^ {- \ alpha t}} {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2} \ left [\ alpha \ sin \ beta t + \ beta \ cos \ beta t \ right] + C \ tag * {(3)} [/ math]
¡Integremos!
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin t} {\ sqrt {t}} \, dt & = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ sin t \, dt \ dfrac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- tx ^ 2} \, dx \, \, \, \, \ , \, \ text {[from (2)]} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- tx ^ 2} \ sin t \, dt \, dx \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} { 1 + x ^ 4} \, dx \, \, \, \, \, \, \ text {[from (3)]} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ cdot \ dfrac {\ pi} {4} \ csc \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) \, \, \, \, \, \, \ text {[from (1)]} \\ & = \ sqrt {\ dfrac {\ pi} {2}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Proceda de manera similar para [matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ cos x} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas] pero en su lugar use el otro resultado estándar:
[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {- \ alpha t} \ cos \ beta t = \ dfrac {e ^ {- \ alpha t}} {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2} \ left [\ beta \ sin \ beta t- \ alpha \ cos \ beta t \ right] + C \ tag * {} [/ math]
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