¿Hay algo malo con esto? [matemáticas] \ sum \ limits_ {n = 2} ^ \ infty x ^ {n + 1} = \ sum \ limits_ {n = 3} ^ \ infty x ^ n = \ frac {x ^ 3} {1 – x }[/matemáticas]

Tenemos: [matemáticas] S = \ sum_0 ^ {+ \ infty} x ^ n [/ matemáticas]

Entonces: [matemáticas] S – xS = (1 + x + x ^ 2 +…) – (x + x ^ 2 +…) = 1 [/ matemáticas]

Entonces: [matemáticas] S = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]

Ahora: [matemáticas] S_3 = \ sum_3 ^ \ infty x ^ n = x ^ 3 + x ^ 4 +… = S – (1 + x + x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] S_3 = \ frac {1} {1-x} – (1 + x + x ^ 2) = \ frac {1 – (1-x) (1 + x + x ^ 2)} {1-x } = \ frac {1- (1 + x + x ^ 2-xx ^ 2-x ^ 3)} {1-x} = \ frac {x ^ 3} {1-x}. [/ math]

Tu respuesta es correcta. Tenga en cuenta que he tomado x real y | x | <1.

Esta expresión se puede extender a la mayoría de los números complejos mediante la función [math] \ zeta [/ math].

No, esto es correcto.

para convencerte a ti mismo puedes hacer:

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} * x ^ {3} = \ frac {x ^ {3}} {1-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {n + 3} = \ frac {x ^ {3}} {1-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 3} ^ {\ infty} x ^ {n} = \ frac {x ^ {3}} {1-x} [/ matemáticas]

O también puedes hacer:

[matemáticas] \ sum_ {i = 3} ^ {\ infty} x ^ {n} = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} – 1 – x – x ^ {2} = \ frac {1} {1-x} – 1 – x – x ^ {2} = \ frac {1 – 1 + x – x + x ^ 2 – x ^ 2 + x ^ 3} {1-x} = \ frac {x ^ {3}} {1-x} [/ math]

Todos los equivalentes están bien si se le concede que [matemáticas] | x | <1. [/ math] El primer signo igual es simplemente el cambio de índice, el segundo se verifica por la convergencia de las series geométricas. Sin embargo, si no tiene [matemáticas] | x | <1 [/ math] que garantiza la convergencia de las dos primeras series, entonces todas las equivalentes no tienen ningún sentido significativo.

Yo diría que es correcto:
[matemáticas] \ sum_2 ^ \ infty x ^ {n + 1} = x * \ sum_2 ^ \ infty x ^ {n} = x * \ frac {x ^ 2} {1 – x} = \ frac {x ^ 3 } {1 – x} [/ matemáticas]

Para todos | x | <1, por supuesto.

Fuente: Progresión geométrica

Al desplazarse por las respuestas, parece que esto se considera comúnmente como correcto.

Sin embargo, en mi experiencia, una expresión que involucra una variable y no proporciona información sobre la variable (¿es un número real x? ¿Un número entero? ¿Un número complejo? ¿Tiene alguna limitación en su valor?) Nunca se consideraría correcta.

Las matemáticas requieren un cierto grado de precisión al expresar conceptos matemáticos y me sorprende que entre las respuestas haya personas con una educación superior que involucren matemáticas y que no sigan estas convenciones.

Sí, la ecuación de centro-derecha solo es válida para números entre 1 y -1 (series geométricas infinitas).

Para 1, el lado derecho no está definido (división por cero).

Para -1, el centro no está definido (-1 + 1–1 + 1–1 + 1 … sin resultado final).

Para todos los demás números, el centro es infinito mientras que la parte derecha no lo es.

Básicamente, debe poner un límite para x para que esta ecuación funcione: tiene que estar entre -1 y 1, y ya está todo listo.

Quizás puedas confiar en esto:

http://homepages.gac.edu/~holte/ …

Está haciendo un buen trabajo desde el primer paso hasta el segundo paso donde no se cometen errores. Sin embargo, está intentando utilizar la ecuación sumatoria para | x | <1 automáticamente. Eso no es correcto ya que la suma de la serie sería: "x ^ 3 * (1 - x ^ [matemáticas] $ \ infty $ [/ matemáticas]) / (1 - x)" donde x ^ [matemáticas] $ \ infty $ [/ math] no necesariamente es igual a cero. Por lo tanto, eso no es correcto.

La primera transformación está bien. Pero el último solo es válido si -1

Nada.
La fórmula es correcta siempre que [math] | x | <1 [/ math].

Es correcto siempre que | x | <1

A mí me parece bien. Por supuesto, solo funcionará cuando la serie converja.

Para algunos valores de x, es cierto, pero es falso para valores reales de x con | x | > = 1.

Bueno, desde una primera mirada, la primera igualdad parece estar bien, pero no la segunda. Básicamente establece que la suma no diverge, mientras que lo hace.

No.