Una serie de Fourier (pronunciado foor-YAY) es un tipo específico de serie matemática infinita que involucra funciones trigonométricas. La serie recibe su nombre de un matemático y físico francés llamado Jean Baptiste Joseph, barón de Fourier, que vivió durante los siglos XVIII y XIX. Las series de Fourier se utilizan en matemáticas aplicadas, y especialmente en física y electrónica, para expresar funciones periódicas como las que comprenden formas de onda de señal de comunicaciones.
Algunas formas de onda son simples, como la onda sinusoidal pura, pero estos son ideales teóricos. En el mundo real, la mayoría de las formas de onda contienen energía en frecuencias armónicas (múltiplos de números enteros de la frecuencia más baja o fundamental). La proporción de energía en frecuencias armónicas, en comparación con la energía en el fundamental, depende de la forma de onda. Las series de Fourier definen matemáticamente tales formas de onda como funciones de desplazamiento (generalmente amplitud , frecuencia o fase ) versus tiempo .
A medida que aumenta el número de términos calculados en una serie de Fourier, la serie se aproxima cada vez más a la función exacta que define una forma de onda de señal compleja. Las computadoras pueden calcular series de Fourier a cientos, miles o millones de términos.
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APLICACIONES
- Procesamiento de señal . Puede ser la mejor aplicación del análisis de Fourier.
- Teoría de la aproximación . Utilizamos series de Fourier para escribir una función como polinomio trigonométrico.
- Teoría del control . La serie de funciones de Fourier en la ecuación diferencial a menudo da alguna predicción sobre el comportamiento de la solución de la ecuación diferencial. Son útiles para descubrir la dinámica de la solución.
- Ecuación diferencial parcial . Lo usamos para resolver ecuaciones diferenciales parciales de orden superior por el método de separación de variables.
Alguna aplicación del mundo real :
- Resulta que (casi) cualquier tipo de onda se puede escribir como una suma de senos y cosenos. Entonces, por ejemplo, si tuviera que grabar su voz por un segundo diciendo algo, puedo encontrar su serie de Fourier que puede verse así, por ejemplo,
$$ \ textrm {voz} = \ sin (x) + \ frac {1} {10} \ sin (2x) + \ frac {1} {100} \ sin (3x) +… $$
y este módulo interactivo le muestra cómo, cuando agrega senos y / o cosenos, el gráfico de cosenos y senos se acerca cada vez más al gráfico original que estamos tratando de aproximar.
Lo realmente genial de las series de Fourier es que, en primer lugar, se puede aproximar casi cualquier tipo de onda. Segundo, cuando las series de Fourier convergen, convergen muy rápido.
Entonces, una de las muchas aplicaciones es la compresión. El formato MP3 favorito de todos lo utiliza para la compresión de audio. Tomas un sonido, amplías su serie de Fourier. Lo más probable es que sea una serie infinita, PERO converge tan rápido que tomar los primeros términos es suficiente para reproducir el sonido original. El resto de los términos se pueden ignorar porque agregan tan poco que un oído humano probablemente no puede notar ninguna diferencia. Así que solo guardo los primeros términos y luego los uso para reproducir el sonido cada vez que quiero escucharlo y requiere mucha menos memoria.
JPEG para imágenes es la misma idea.
2. Otra variación de la serie de Fourier para comparar secuencias de ADN es un método novedoso para el análisis comparativo de secuencias de ADN que utilizó la serie Ramanujan-Fourier. La idea es la misma que la serie de Fourier, pero con una base ortogonal diferente (Fourier tiene una base de funciones trigonométricas, RF usa sumas de Ramanujan). Otras bases ortogonales son las funciones de Walsh-Hadamard, los polinomios de Legendre, el polinomio de Chebyshev, etc.
Independientemente de la base ortogonal utilizada, una de las aplicaciones prácticas es el análisis de señales / datos. La transformación / descomposición en una suma de coeficientes por funciones básicas, le permite hacer una o ambas:
- “Vea” a través del ruido y resalte cualquier periodicidad o patrón no obvio dentro de los datos / señal.
- “Mayor en las mayores” al enfocarse o preservar los componentes más importantes de la señal. Los componentes más importantes son precisamente aquellos componentes con los coeficientes más grandes.
La base determina lo que se resalta en la señal / datos. Una descomposición de la serie de Fourier resalta componentes sinusoidales, una descomposición de Walsh-Hadamard resalta componentes que son ondas cuadradas periódicas, una descomposición de RF resalta comportamientos que son similares a la distribución de números primos entre enteros.
