Si extiende su visión a números complejos, se vuelve más simple.
Funciones holomorfas
Si una función [math] f: \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math] es analítica en un número real [math] x = a, [/ math] entonces tiene una representación de la serie Taylor expandida alrededor de [math] a , [/ math] y que la serie Taylor tiene un radio de convergencia [math] r, [/ math] es decir, la serie converge absolutamente en el intervalo [math] (ar, a + r). [/ math]
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Es posible que se haya preguntado por qué se llama radio cuando no hay círculo alrededor. Pero hay un círculo. Está solo en los números complejos [matemática] \ mathbb C. [/ matemática] La serie de potencia converge para todos los números complejos [matemática] z [/ matemática] tal que [matemática] | xa | <r. [/ Matemática] Entonces su La función analítica [matemática] f [/ matemática] también está definida para números complejos.
Ahora que estamos viendo funciones complejas [math] f: \ mathbb C \ to \ mathbb C, [/ math] hay una condición simple equivalente a ser representada por series de potencia. Esa condición es que tienen una derivada como un número complejo. Una derivada compleja en un conjunto abierto es suficiente para implicar derivadas de todos los pedidos.
Se dice que una función compleja que se puede diferenciar en un conjunto abierto de [math] \ mathbb C [/ math] es holomórfica en ese conjunto. En un análisis complejo, es un teorema que las funciones holomórficas se pueden representar como series de potencia.
Por lo tanto, una función analítica real puede extenderse a una función holomórfica compleja.
Funciones no analíticas, infinitamente diferenciables
La otra parte de su pregunta era sobre funciones infinitamente diferenciables que no son analíticas. No son fáciles de encontrar. Un ejemplo es
[matemáticas] f (x) = e ^ {- 1 / x ^ 2} [/ matemáticas]
Como está escrito [math] f [/ math] no está definido en 0, pero puedes ver en su gráfico que si extiendes su dominio definiendo [math] f (0) = 0, [/ math] entonces será continuo en 0. Además, todas sus derivadas son 0. Su gráfica es realmente muy plana en 0. Su serie de Taylor es la función constante 0, pero no es igual a su serie de Taylor allí. Esta función [matemática] f [/ matemática] no es analítica en 0. Pero sí es igual a su representación en serie Taylor cuando se expande sobre cualquier punto [matemática] a \ neq0, [/ matemática] en cuyo caso el radio de convergencia de esa series es [math] a, [/ math] y es tan grande como puede ser y aún excluye el punto singular en 0.
Cuando extienda esta función a los números complejos, encontrará que hay una singularidad esencial en 0. Dependiendo de qué dirección se acerque a esta singularidad, obtendrá todos los límites diferentes. Sucede que si te acercas a él a lo largo del eje real, obtendrás 0. Es agradable en el eje real pero terrible en cualquier otra línea a través del origen.
A pesar de que esta [matemática] f [/ matemática] se ve bien cuando miras su gráfico para valores reales, tiene una horrible, horrible singularidad en 0. Las apariencias pueden ser engañosas.
Entonces, qué es lo que parece. Tengo algunas imágenes del gráfico de
[matemáticas] | f (x + yi) | = e ^ {(y ^ 2-x ^ 2) / (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas]
Le darán una idea de la función compleja [math] f [/ math] es. No es toda la historia, ya que solo estamos viendo el valor absoluto de [matemáticas] f, [/ matemáticas], pero eso es suficiente para ver que algo extraño está sucediendo en 0.
Para este primero lo hemos visto desde el eje imaginario negativo. Solo una parte se muestra. Puede ver que la superficie inferior se parece a la curva de arriba a lo largo del eje real. Mi programa de gráficos (Grapher en una Mac) no puede mostrar los valores infinitos en el origen.
Ahora vemos el eje real positivo apuntando a la esquina inferior derecha y el eje imaginario negativo a la izquierda (el punto de vista de la imagen anterior). Hay un área plana cerca de donde hay pequeños valores reales positivos. 
Este es un primer plano desde el punto de vista anterior. Es muy plano, pero la superficie se eleva rápidamente si se desvía de los números reales.
Ahora estamos mirando hacia abajo desde arriba. Ves el área plana cerca del eje real. Gran parte de la superficie está sobre nuestras cabezas; Toda esa área blanca dentro de los 45 grados del eje imaginario está por encima de nosotros.
